Benutzer:Chipstüte/Auf der Spur der Spitzengeschwindigkeit/Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
Chipstüte
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Lernstation 2 – Wie schnell fährt die Fahrradfahrerin genau nach 5 Sekunden?
Ausgangssituation
Bisher konntest du berechnen, wie schnell die Fahrradfahrerin in einem längeren Zeitabschnitt gefahren ist.
Nun interessiert uns aber etwas anderes:
Die zurückgelegte Strecke wird in den ersten fünf Sekunden beschrieben durch die Funktion
g(t)=2t2.
Dabei gilt:
- t ist die Zeit in Sekunden
- g(t) die zurückgelegte Strecke in Metern
Ab der 5. Sekunde wird die zurückgelegte Strecke beschrieben durch die Funktion
f(t)=-t2+30t-75.
Das Weg-Zeit-Diagramm der Fahrradfahrerin ist in diesem Koordinatensystem dargestellt.
Die Fahrradfahrerin wird also zunächst immer schneller, ist vermutlich bei 5s am schnellsten und fährt danach wieder langsamer.
Wir vermuten, dass die Geschwindigkeit bei 5 Sekunden am Höchsten ist. Wir wissen aber noch nicht, wie wir die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt bestimmen können. Wir können aber die Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten 5 Sekunden bestimmen.
Aus der Grafik erkennen wir, dass die Fahrradfahrerin innerhalb der 5 Sekunden 50 Meter zurückgelegt hat. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt also
v=50m/5s=10m/s.
Diese Geschwindigkeit wird außerdem durch die Gerade m in der Grafik dargestellt. Die Geschwindigkeit ist die Steigung der Gerade zwischen den Punkten A und B.
10m/s sind sehr schnell, umgerechnet sind dies 36 km/h. Wir vermuten aber, dass die dies noch nicht der höchste Wert ist, daher probieren wir weiter. ---
Aufgabe 1
Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit der Fahrradfahrerin nur zwischen der
- 4 s und 5 s.
Nutze dazu
v=s/t.
Trage deine Rechnung in dein Heft ein.
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Aufgabe 2
Berechne nun mit demselben Verfahren die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen
- 4,5 s und 5 s.
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Aufgabe 3
Berechne nun mit demselben Verfahren die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen
- 4,9 s und 5 s.
---
Aufgabe 4
Berechne nun mit demselben Verfahren die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen
- 4,99 s und 5 s.
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Aufgabe 5
Berechne nun mit demselben Verfahren die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen
- 4,999 s und 5 s.
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Aufgabe 6
Fülle die Tabelle vollständig aus.
| Zeitintervall | Durchschnittsgeschwindigkeit |
|---|---|
| 4 bis 5 | |
| 4,5 bis 5 | |
| 4,9 bis 5 | |
| 4,99 bis 5 | |
| 4,999 bis 5 |
---
Aufgabe 7
Betrachte deine Ergebnisse.
Welche Aussage trifft zu?
○ Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird immer kleiner.
○ Die Durchschnittsgeschwindigkeit nähert sich immer weiter einem festen Wert.
○ Die Durchschnittsgeschwindigkeit springt ständig hin und her.
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Richtig ist:
✅ Die Durchschnittsgeschwindigkeit nähert sich immer weiter einem festen Wert.
---
Aufgabe 8
Schätze:
Wie groß ist die Geschwindigkeit genau nach
\[ t=5\,s \]
?
_____________________
Betrachte die letzte Zeile deiner Tabelle.
Welchem Wert nähern sich alle Ergebnisse?
Die Geschwindigkeit scheint sich immer weiter
\[ 20\,m/s \]
anzunähern.
Diese Geschwindigkeit nennt man in der Mathematik die Momentangeschwindigkeit.Im nächsten Lernabschnitt lernst du, wie man diese Geschwindigkeit ohne immer kleinere Intervalle berechnen kann. }}
Merksatz
Je kleiner das betrachtete Zeitintervall wird, desto näher kommt die Durchschnittsgeschwindigkeit an die tatsächliche Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitpunkt heran.
Aus der Durchschnittsgeschwindigkeit entsteht so annähernd die Momentangeschwindigkeit.
