Benutzer:BirgitLachner/Ortskurven mit GeoGebra untersuchen und bestimmen

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Hintergrund

Dieses Projekt beruht auf dem Inhalt meines ersten Staatsexamens-Arbeit.

Um die Jahre 1994/1995 waren interaktive Geometrie-Programme schon vorhanden, aber - auch weil Computer im normalen Unterricht weniger verbreitet waren - noch nicht wirklich im Mathematik-Unterricht angekommen. "Platzhirsch" war damals Carbi-Geometre, dass einen für damalige Verhältnisse schon großen Funktionsumfang hatte. Allerdings ist das mit den Möglichkeiten, die man jetzt in GeoGebra hat, nicht vergleichbar.

Es gab aber durchaus Ideen für eine Nutzung im Unterricht, vor allem im Sinne von interaktiven Zeichnungen, mit denen man allgemein gültige geometrische-rechnerische Beziehungen verdeutlichen kann, wie es zum Beispiel beim Satz von Pythagoras oder bei Dreiecks-Sätzen der Fall ist.

Die Staatsexamensarbeit beschäftigt sich mit der Bestimmung von sogenannten Ortskurven. Anhand eines Beispieles soll das genauer erklärt werden:

Nehmen wir mal an, wie haben ein Dreieck mit einer festen Grundseite. Der dritte Punkt ist auf einer Geraden beweglich, die parallel zur Grundseite liegt, in einem beliebigen Abstand. In den Dreieck wird nun der Schnittpunkt der Höhen eingezeichnet. Die Frage ist nun, wo der Höhenschnittpunkt überall liegen könnte, wenn der Punkt C auf einer beliebigen Position der Gerade ist. In GeoGebra kann ich das simulieren!


GeoGebra


Man erkennt, dass es, egal wo B und C liegen, immer eine Parabel ist. Man erkennt auch, dass die Streckung und die Position der Parabel von der Länge der Grundseite und dem Abstand der Gerade abhängt.

Ziel ist es aber, nicht nur zu spekulieren, sondern genau zu bestimmen, wie die Länge der Grundseite und der Abstand der Gerade zur Grundseite sich auf die Parabel auswirken. Zum Beispiel könnte man die Parabelgleichung bestimmen und speziell den Scheitelpunkt.

Idee

Jedes Thema besteht immer aus drei Teilen:

  • Aufgrund der Vorgaben, muss in GeoGebra eine interaktive Zeichnung erstellt werden, wodurch man zu der geometrischen Situation eine interaktive Zeichnung hat.
  • Es soll untersucht werden, wie sich die Änderung der Ausgangspunkte/-Objekte auf die Spur bzw. die sich daraus ergebende Ortskurve auswirkt. Dazu können einige Beispiele genutzt werden, die zeigen, wie sich eine Änderung auswirkt.
  • Es soll rechnerisch oder durch Beweis von Vermutungen genau bestimmt werden, wie die Ortskurve festgelegt ist. Dazu gibt es, je nach Thema, mehrere Möglichkeiten. Dementsprechend ist der Schwierigkeitsgrad unterschiedlich.

Anwendungsgebiet

Diese Aufgaben sind teilweise etwas schwieriger, so dass sie im "normalen" Unterricht eher nicht anwendbar sind. Allerdings könnten sie für bessere Schüler oder in AGs sicherlich verwendet werden, um etwas über den Tellerrand der Schulgeometrie rauszublicken bzw. diese in einem anderen Zusammenhang anzuwenden.

Material

Zu jeder Aufgabenstellung, gibt es eine Einführungsseite für den Lehrer, auf dem er eine interaktive Konstruktion geliefert bekommt, um gleich selber zu sehen, welche Orskurve bei der Bewegung entstehen kann. Außerdem gibt es für die verschiedenen Lösungswege Hinweise, welche mathematischen Formeln, Regeln, Gesetze usw. genutzt werden, um genau abschätzen zu können, ob eine Aufgabe verwendbar ist.

Eine Info-Seite beschreibt die allgemeine Idee und klärt verwendete Begriffe in diesem Zusammenhang.

Es gibt jeweils eine Anleitung für Schüler, die die Ausgangssituation beschreibt, mit der die Schüler die Konstruktion erstellen können sollten. Eine zusätzliche Anleitung beschreibt wie man in GeoGebra mit Gleitern und Spuren umgeht.

Angepasst auf verschiedene Lösungsansätze gibt es dann Tipps, wie genau man bestimmen kann, welche Formel die Ortskurve hat bzw. wie genau sie von den Ausgangsobjekten abhängt. Dabei kommen allerdings nicht nur "normale" Funktionen vor, wie man sie im Schulunterricht verwendet. Daher ist bei jeder Aufgabenstellung und Lösungs-Variante die Klassenstufe (nach dem deutschen Schulsystem) genannt, für die die Lösung verwendbar ist.

Los geht's

>>> Zu der Seite mit den Themen und allgemeine Anleitungen