Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining - Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Aufgabe 1|2=
{{Box|Aufgabe 1|2=
Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartpohnehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 5% weniger fehlerhaft sind. In einem Test mit 100 zufällig entnommenen Smartphones, soll die Nullhypothese " Der Anteil der defekten Smartphones beträgt mindestens 5%" auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden.<br>  
Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartphonehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 6% weniger fehlerhaft sind. In einem Test mit 100 zufällig entnommenen Smartphones, soll die Nullhypothese " Der Anteil der defekten Smartphones beträgt 6%" auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden.<br>  
a) Bestimme die Entscheidungsregel für den Test.<br>
[[Datei:Handy.jpg|rechts|150px]]
b) Beschreibe die zugehörigen Fehlerarten sowie die daraus resultierende Konsequenzen im Sachzusammenhang.
a) Begründe warum die Gegenhypothese <math>H_1:p<0,06</math> lautet.<br>
b) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich.<br>
c) Beschreibe die zugehörigen Fehlerarten im Sachzusammenhang.
   
   
{{Lösung versteckt|1=
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  '''a) '''1. Schritt:<math>H_0:p\geq0,05</math> und <math>H_1:p<0,05</math><br>2. Schritt: n=100 und <math>\alpha=5%</math><br> 3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist im Grenzfall <math>B_{100,0.05}</math>- verteilt.<br> 4. Schritt: <math>P(X\leq kr)\leq0,05</math><br> Aus Ablesen der Tabelle erhält man kr=1.<br> Annahmebereich: {2, ...,100} und Verwerfungsbereich: {0,1}.<br> '''b) '''Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich mindestens 5% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones unter 5% liegt. <br>
  '''a) '''Das Ziel eines Signifikanztests ist es die Nullhypothese zu verwerfen und zu zeigen, dass mit einer großen statistischen Sicherheit die Gegenhypothese <math>H_1</math> gilt. In dieser Aufgabe will der Hersteller zeigen, dass nun weniger als 6% der produzierten Smartphones fehlerhaft sind. Also wird diese Aussage als Gegenhypothese <math>H_1</math> gewählt. <br>
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 5% der hergestellten Smartphones defekt, die Nullhypothese <math>H_0</math> wird aber fälschlicherweise nicht verworfen.  
'''b)'''1. Schritt:<math>H_0:p=0,06</math> und <math>H_1:p<0,06</math><br>2. Schritt: n=100 und <math>\alpha=5%</math><br> 3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist <math>B_{100,0.06}</math>- verteilt.<br> 4. Schritt: <math>P(X\leq kr)\leq0,05</math><br> Durch Ablesen der Tabelle erhält man k=1.<br> Der Verwerfungsbereich ist somit das Intervall von {0,1}.<br> '''c) '''Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich weiterhin 6% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber fälschlicherweise vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones unter 6% liegt. <br>
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 6% der hergestellten Smartphones defekt, der Test erkennt dies aber nicht. Die Nullhypothese <math>H_0</math> wird fälschlicherweise nicht verworfen.  
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{{Box|Aufgabe 2|2=
{{Box|Aufgabe 2|2=
In Deutschland wurde in der letzten Zeit viel Werbung für den Goldstrand in Bulgarien gemacht. Daraufhin wird vermutet, dass vermehrt Menschen aus Deutschland den Urlaubsort aufsuchen. Bisher kamen 34% aller Touristen dort aus Deutschland. Mit einem Signifikanztest, bei dem zufällig 100 Urlauber am Golstrand befragt werden, soll überpürft werden, ob die Anteil der in Deutschland lebenden Touristen, gestiegen ist. Das Signifikanzniveau <math>\alpha</math> wird auf 5% festgelegt.<br>  
Viele Universitäten in Deutschland bieten neu gemeinsame Busfahrten zum King`s Day nach Amsterdam an. Durch einen Signifikanztest soll überprüft werden, ob durch dieses Angebot an dem Tag mehr Menschen aus Deutschland anreisen als sonst. Im letzten Jahr kamen 34% aller Besucher aus Deutschland. Für den Test werden zufällig 100 Menschen beim King`s Day befragt und das Signifikanzniveau <math>\alpha</math> wird auf 5% festgelegt.<br> <br>
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und formuliere die zugehörige Entscheidungregel. <br>
[[Datei:Kingsday.jpg|rechts|300px]]
b) In der Umfrage kommt raus, dass 45 der Befragten in Deutschland leben. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren? <br>
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und gib den Verwerfungsbereich an. <br>
b) In der Umfrage kommt raus, dass 45 der Befragten aus Deutschland kommen. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren? <br>


   
   
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' 1. Schritt:  <math>H_0:p\leq0,34</math> und <math>H_1:p>0,34</math><br>2. Schritt: <math>n=100 </math> und <math>\alpha=5%</math><br>3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten Urlauber, die in Deutschland leben. X ist im Grenzfall <math>B_{100,0.34}</math> -verteilt<br>4. Schritt: <math>P(X\geq kr)\leq0,05\Rightarrow1-P(X\leq kr-1)\leq0,05</math><br><math>P(X\leq kr-1)\geq0,95</math><br>Aus Ablesen der Tabelle kr-1=43 => kr=44<br> Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {44...100}liegt.Der Annahmebereich ist das Intervall zwischen {0,...43}.<br>
'''a)''' 1. Schritt:  <math>H_0:p=0,34</math> und <math>H_1:p>0,34</math><br>2. Schritt: <math>n=100 </math> und <math>\alpha=5%</math><br>3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die aus Deutschland angereist sind. X ist <math>B_{100,0.34}</math> -verteilt<br>4. Schritt: <math>P(X\leq k-1)\geq0,95</math><br>Aus Ablesen der Tabelle erhält man: k-1=42 => k=43<br> Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {43...100}liegt.<br>
'''b)'''  Das Ergebnis liegt im Verwerfungsbereich. Somit kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgegangen werden, dass der Anteil, der in Deutschland lebender Touristen, am Goldtrand gestiegen ist.<br>
'''b)'''  Das Ergebnis liegt im Verwerfungsbereich. Somit kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgegangen werden, dass der Anteil der aus Deutschland angereisten Besucher*innen gestiegen ist.<br>
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{{Box|Aufgabe 3|2=
{{Box|Aufgabe 3|2=
Arthur behauptet, dass wenn er Fremden zulächelt 50% zurück lächeln. Jonas, ein Freund von Arthur, fragt sich, ob das stimmt. Deshalb wollen sie ein Signifikanztest durchführen. Arthur soll 1000 Menschen anlächeln. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5 % fest.<br>  
Ein Präsidentschaftskanditat aus den USA hat in der zwei Monate zurückliegenden Umfrage einen Stimmenanteil von 50% Prozent erzielt. Nun ist er interessiert, ob sein Stimmenanteil sich verändert hat. Er will dies mit einem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen und lässt zufällig 1000 Menschen befragen.Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt. <br> <br>
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und bestimme die Entscheidungsregel<br>
a) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich<br>
b) Von den 1000 Menschen haben 531 zurückgelächelt. Arthur behauptet, dass somit bewiesen ist das seine Aussage wahr ist. Nimm zu dieser Aussage Stellung.
   
   
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
'''a)''' 1. Schritt:<math>H_0:p=0,5</math> und <math>H_1:p\neq0,5</math><br>2. Schritt <math>n=1000 </math> und <math>\alpha=5%</math><br> 3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die zurückgelächelt haben. X ist  <math>B_{1000;0,5}- verteilt</math><br>4. Schritt: 1.) <math>P(X\leq kr)\leq 0,025</math> <br> Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=468.<br> 2.) <math>P(X\leq kr-1)\geq0,975</math><br> Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=532.<br> Annahmebereich: {469,...531}.<br> Verwerfungsbereich: {0,..468}<math>\cup</math>{532,.., 1000}.<br>'''b)''' 531 liegt zwar im Annahmebereich. Aber über Ergebnisse die im Annahmebereich liegen, kann keine Aussage getroffen werden. Arthur kann durch den Test nicht zeigen, dass der Wert 50% gilt.
'''a)''' 1. Schritt:<math>H_0:p=0,5</math> und <math>H_1:p\neq0,5</math><br>2. Schritt <math>n=1000 </math> und <math>\alpha=5%</math><br> 3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die ihn wählen würden. X ist  <math>B_{1000;0,5}- verteilt</math><br>4. Schritt: 1.) <math>P(X\leq k)\leq 0,025</math> <br> Aus Ablesen der Tabelle folgt k=468.<br> 2.) <math>P(X\leq k-1)\geq0,975</math><br> Aus Ablesen der Tabelle folgt k=532.<br> Der Verwerfungsbereich ist die Vereinigung auf folgenden Intervallen: {0,..468}<math>\cup</math>{532,.., 1000}.<br>
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|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 9. März 2020, 13:36 Uhr

Super! Jetzt hast du alle wichtigen Inhalte wiederholt und trainiert. Jetzt solltest du in der Lage sein, mögliche Klausuraufgaben zu lösen. Viel Spaß!

Aufgabe 1

Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartphonehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 6% weniger fehlerhaft sind. In einem Test mit 100 zufällig entnommenen Smartphones, soll die Nullhypothese " Der Anteil der defekten Smartphones beträgt 6%" auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden.

Handy.jpg

a) Begründe warum die Gegenhypothese lautet.
b) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich.
c) Beschreibe die zugehörigen Fehlerarten im Sachzusammenhang.

a) Das Ziel eines Signifikanztests ist es die Nullhypothese zu verwerfen und zu zeigen, dass mit einer großen statistischen Sicherheit die Gegenhypothese gilt. In dieser Aufgabe will der Hersteller zeigen, dass nun weniger als 6% der produzierten Smartphones fehlerhaft sind. Also wird diese Aussage als Gegenhypothese gewählt.
b)1. Schritt: und
2. Schritt: n=100 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist - verteilt.
4. Schritt:
Durch Ablesen der Tabelle erhält man k=1.
Der Verwerfungsbereich ist somit das Intervall von {0,1}.
c) Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich weiterhin 6% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber fälschlicherweise vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones unter 6% liegt.
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 6% der hergestellten Smartphones defekt, der Test erkennt dies aber nicht. Die Nullhypothese wird fälschlicherweise nicht verworfen.


Aufgabe 2

Viele Universitäten in Deutschland bieten neu gemeinsame Busfahrten zum King`s Day nach Amsterdam an. Durch einen Signifikanztest soll überprüft werden, ob durch dieses Angebot an dem Tag mehr Menschen aus Deutschland anreisen als sonst. Im letzten Jahr kamen 34% aller Besucher aus Deutschland. Für den Test werden zufällig 100 Menschen beim King`s Day befragt und das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.

Kingsday.jpg

a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und gib den Verwerfungsbereich an.
b) In der Umfrage kommt raus, dass 45 der Befragten aus Deutschland kommen. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren?


a) 1. Schritt: und
2. Schritt: und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die aus Deutschland angereist sind. X ist -verteilt
4. Schritt:
Aus Ablesen der Tabelle erhält man: k-1=42 => k=43
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {43...100}liegt.
b) Das Ergebnis liegt im Verwerfungsbereich. Somit kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgegangen werden, dass der Anteil der aus Deutschland angereisten Besucher*innen gestiegen ist.



Aufgabe 3

Ein Präsidentschaftskanditat aus den USA hat in der zwei Monate zurückliegenden Umfrage einen Stimmenanteil von 50% Prozent erzielt. Nun ist er interessiert, ob sein Stimmenanteil sich verändert hat. Er will dies mit einem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen und lässt zufällig 1000 Menschen befragen.Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.

a) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich


a) 1. Schritt: und
2. Schritt und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die ihn wählen würden. X ist
4. Schritt: 1.)
Aus Ablesen der Tabelle folgt k=468.
2.)
Aus Ablesen der Tabelle folgt k=532.
Der Verwerfungsbereich ist die Vereinigung auf folgenden Intervallen: {0,..468}{532,.., 1000}.