Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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Beim Signifikanztest können zwei Fehlentscheidungen auftreten.<br><br>
In den Klausuraufgaben wird von euch manchmal gefordert, die Fehlerarten, die bei einem Signifikanztest auftreten können, zu beschreiben. In folgendem Abschnitt soll dies nochmals kurz wiederholt werden und euch praktische Hinweise gegeben werden, wie ihr diese für die Klausuraufgaben beschreiben könnt.<br><br>
Folgende Tabelle stellt beide Fehlerarten dar.<br><br>
[[Datei:Mögliche Fehlentscheidungen .png|900px]]


Den Fehler 1. Art habt ihr bereits kennen gelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine richtige Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Dieser Fehler wird durch das festgelegte Signikanzniveau kontrolliert. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kann also nie größer als das festgelegte Signifkanzniveau sein. <br><br>
Folgende Fehlerarten können beim Signifikanztest auftreten:<br><br>
Der Fehler 2. Art besteht daraus, dass eine falsche Nullhypothese fälschlicherweise beibehalten wird. Im Gegensatz zurm Fehler 1. Art lässt sich dieser Fehler nicht konrollieren. Zudem lässt sich dieser Fehler nur berechnen, wenn der wahre Wert bekannt ist. Da dies selten der Fall ist, findet dieser Fehler selten Anwendung in der Praxis.<br><br>
{{Box|1=Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art|2=
Zur Veranschaulichung betrachten wir wieder unser Klima-Beispiel:  
Der '''Fehler 1. Art''' wird oft auch als <math>\alpha</math>-Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers wird durch das festgelegte Signifikanzniveau <math>\alpha</math> kontrolliert. <br><br>
Sei .........
Der '''Fehler 2. Art''' wird oft auch als <math>\beta</math>-Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintreten dieses Fehlers nicht kontrollieren.  
Der Fehler 1. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch das Ergenis der Stichprobe allerdings vermutetet wird das der Anteil größer ist.<br>
|3=Merksatz}}
Beim Fehler 2. Art sehen tatsächlich mehr als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung an, durch das Stichprobenergebnis wird allerdings die Aussage (71% der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an) nicht verworfen und fälschlicherweise beibehalten.  
 
Anmerkung: Der Fehler 1. und 2. Art kann nur berechnet werden, wenn die tatsächliche Verteilung (also p) bekannt ist. Da dies eigentlich nie der Fall ist, ist die Diskussion etwas theoretisch.
 
Zur Veranschaulichung der beiden Fehlerarten betrachten wir wieder unser Beispiel: <br><br>
Die Umweltgruppe will zeigen, dass durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt:<br>  
<math>H_0:p=0,71</math> und <math>H_1:p>0,71</math><br>
Der tatsächliche Wert, den die Gruppe natürlich nicht weiß, liegt im Jahr 2020 bei 76%. (Hinweis: Es ist ein fiktiver Wert)
Welche Fehler können der Gruppe beim Testen unterlaufen? <br><br>
 
<div class="lueckentext-quiz">
<u>Fehler 1. Art:</u> Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt '''weiterhin''' 71%, durch den Test wird aber fälschlicherweise angenommen, dass der Anteil '''gestiegen''' ist. <br>
<u>Fehler 2. Art: </u>Der tatsächliche Anteil liegt''' über''' 71% (in dem Fall bei 76%), der Test erkennt dies aber nicht. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese '''nicht'''.
</div>
 
Die Grafik veranschaulicht beide Fehlerarten.<br><br>
Der blaue Graph ist der Fall der Nullhypothese <math>H_0</math> und der rote Graph ist die Verteilung, mit der für die Gruppe unbekannten Wahrscheinlichkeit von 2020. Der Fehler 1. Art ist rot markiert und der Fehler 2. Art grün.<br><br>
[[Datei:Grafikfehlerarten.png|800px]]


{{Box|1=Übung 2: Grafische Anschauung und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten|2=
Es soll die Aussage "'''71 % der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an'''" überprüft werden. Dazu werden 1000 Menschen in Deutschland befragt.<br><br>
a) Skizziere die zugehörige Binomialverteilung.
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Lösung .png|300px]]
}}
Bereche folgende Wahrscheinlichkeiten!<br><br>
b) Das in der Stichprobe '''genau''' 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen.
{{Lösung versteckt|1=Nutze die Formel von Bernoulli!<br> Gib im Taschenrechner die Funktion binompdf(n,p,k)ein.<br> '''n''' die Anzahl der Versuche(Befragungen), '''p''' die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und '''k''' die Anzahl der Treffer.
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>P(X=710)=\tbinom{1000}{710}\cdot 0,71^{710}\cdot0,29^{290}</math><math>=0,0278</math>.<br>
In den Taschrenrechner wurde zur Berechnung folgende Funktion eingegeben binomcdf (1000, 0.71, 710).<br>
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.
}}


c) Das '''höchstens''' 680 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.
{{Box|1=Übung 1: Fehlerarten bestimmen|2=
{{Lösung versteckt|1= Höchtes heißt es können 1,2,3, ...680 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.<br>
Die Partei, die den Klimawandel nicht als Bedrohung sieht, hofft, dass ihre Argumente im letzten Jahr gegen die Bedrohung des Klimawandels bei der Bevölkerung angekommen sind. Die Partei interessiert sich, ob dadurch der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
Nutze zur Berechnung die Formel für die kumulierten Wahrscheinlichkeit (siehe Übung 1).<br> In dem Taschenrechner kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeiten über die Funktion binomcdf(n,p,k)berechnen.  
<br><math>H_0:p=0,71</math> und <math>H_1:p<0,71</math><br><br>
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art im Kausalzusammenhang besteht.
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
<math>P(X\leq680)=\sum_{i=0}^{680} B_{1000,0,71} (i) = 0,0206</math><br>
Der Fehler 1. Art besteht darin, dass weiterhin 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber fälschlicherweise vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.
In den Taschenrechner wurde zur Berechnung die Funktion binomcdf(1000, 0.71, 680) eingegeben.<br>
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe höchstens 680 der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,06 %
}}
}}
 
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art im Kausalzusammenhang besteht.
d) Das '''mindestens''' 740 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1= Wahrscheinlichkeiten für mindetstens werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:<br> '''P(mindestens k)= 1 - P(höchstens k - 1)'''<br> Die Wahrscheinlichkeit für höchstens kannst du wieder mit der Funktion  binomcdf(n,p,k)berechnen.
Der Fehler 2. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test dies aber nicht erkennt. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>P(X\geq740)= 1-P(X\leq739)=0,0191</math><br>
In den Taschenrechner berechnest du es wie folgt: 1- binomcdf(1000, 0.71, 739)<br>
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 740 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 1,91 %.
}}
}}


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{{Fortsetzung|weiter=Klausurtraining - Signifikanztest|weiterlink=Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining_-_Signifikanztest}}
 
 
 
 
 
 
 
{{Fortsetzung|weiter=Klausurtraining - Signifikanztest|weiterlink=Klausurtraining_-_Signifikanztest}}

Aktuelle Version vom 9. März 2020, 13:33 Uhr

In den Klausuraufgaben wird von euch manchmal gefordert, die Fehlerarten, die bei einem Signifikanztest auftreten können, zu beschreiben. In folgendem Abschnitt soll dies nochmals kurz wiederholt werden und euch praktische Hinweise gegeben werden, wie ihr diese für die Klausuraufgaben beschreiben könnt.

Folgende Fehlerarten können beim Signifikanztest auftreten:

Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Der Fehler 1. Art wird oft auch als -Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers wird durch das festgelegte Signifikanzniveau kontrolliert.

Der Fehler 2. Art wird oft auch als -Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintreten dieses Fehlers nicht kontrollieren.

Anmerkung: Der Fehler 1. und 2. Art kann nur berechnet werden, wenn die tatsächliche Verteilung (also p) bekannt ist. Da dies eigentlich nie der Fall ist, ist die Diskussion etwas theoretisch.

Zur Veranschaulichung der beiden Fehlerarten betrachten wir wieder unser Beispiel:

Die Umweltgruppe will zeigen, dass durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt:
und
Der tatsächliche Wert, den die Gruppe natürlich nicht weiß, liegt im Jahr 2020 bei 76%. (Hinweis: Es ist ein fiktiver Wert) Welche Fehler können der Gruppe beim Testen unterlaufen?

Fehler 1. Art: Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt weiterhin 71%, durch den Test wird aber fälschlicherweise angenommen, dass der Anteil gestiegen ist.
Fehler 2. Art: Der tatsächliche Anteil liegt über 71% (in dem Fall bei 76%), der Test erkennt dies aber nicht. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.

Die Grafik veranschaulicht beide Fehlerarten.

Der blaue Graph ist der Fall der Nullhypothese und der rote Graph ist die Verteilung, mit der für die Gruppe unbekannten Wahrscheinlichkeit von 2020. Der Fehler 1. Art ist rot markiert und der Fehler 2. Art grün.

Grafikfehlerarten.png


Übung 1: Fehlerarten bestimmen

Die Partei, die den Klimawandel nicht als Bedrohung sieht, hofft, dass ihre Argumente im letzten Jahr gegen die Bedrohung des Klimawandels bei der Bevölkerung angekommen sind. Die Partei interessiert sich, ob dadurch der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
und

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 1. Art besteht darin, dass weiterhin 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber fälschlicherweise vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 2. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test dies aber nicht erkennt. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.



Klausurtraining - Signifikanztest
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