Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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In den Klausuraufgaben wird von euch manchmal gefordert, die Fehlerarten, die bei einem Signifikanztest auftreten können, zu beschreiben. In folgendem Abschnitt soll dies nochmals kurz wiederholt werden und euch praktische Hinweise gegeben werden, wie ihr diese für die Klausuraufgaben beschreiben könnt.<br><br>
Beim Signifikanztest sind zwei Fehlerarten möglich. Diese sind nicht zu vermeiden, außer wenn die Grundgesamtheit erfasst wird und somit die Zufallswirkung ausgeschalten wird.  Da die Erfassung der Grundgesamtheit allerdings oft  nicht möglich ist oder zu aufwenig ist muss ein Umgang mit den Fehlern gefunden werden. <br><br>
Folgende Fehler können beim Signifikanztest auftreten:<br><br>
1. Die fälschliche Ablehung der Nullhypothese: '''Fehler 1. Art''' <br>
2. Die fälschliche Beibehehaltung der Nullhypothese: '''Fehler 2. Art''' <br><br>


Zur Veranschaulichung betrachten wir unser Beispiel:<br>
Folgende Fehlerarten können beim Signifikanztest auftreten:<br><br>
Es soll die Aussage "71% der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als große Bedrohung an" überprüft werden.<br> Dafür werden folgende Hypothesen aufgestellt:<br><br>
{{Box|1=Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art|2=
Der '''Fehler 1. Art''' wird oft auch als <math>\alpha</math>-Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers wird durch das festgelegte Signifikanzniveau <math>\alpha</math> kontrolliert. <br><br>
Der '''Fehler 2. Art''' wird oft auch als <math>\beta</math>-Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine  Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintreten dieses Fehlers nicht kontrollieren.
|3=Merksatz}}


<math>H_0:p\leq0,71</math> <br> <math>H_1:p>0,71</math><br><br>
Anmerkung: Der Fehler 1. und 2. Art kann nur berechnet werden, wenn die tatsächliche Verteilung (also p) bekannt ist. Da dies eigentlich nie der Fall ist, ist die Diskussion etwas theoretisch.


Der Fehler 1. Art würde darin bestehen wenn tatsächlich weniger als 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen durch den Test aber vermutet wird, dass mehr als 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung sehen. <br>
Zur Veranschaulichung der beiden Fehlerarten betrachten wir wieder unser Beispiel: <br><br>
Die Umweltgruppe will zeigen, dass durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt:<br>
<math>H_0:p=0,71</math> und <math>H_1:p>0,71</math><br>
Der tatsächliche Wert, den die Gruppe natürlich nicht weiß, liegt im Jahr 2020 bei 76%. (Hinweis: Es ist ein fiktiver Wert)
Welche Fehler können der Gruppe beim Testen unterlaufen? <br><br>


Der Fehler 2. Art ist, wenn der wahre Wert tatsächlich größer ist als 71%, aber durch den Test angenommen wird, dass weniger als 71% der Menschen den Klimwandel als Bedrohung ansehen.<br><br>  
<div class="lueckentext-quiz">
<u>Fehler 1. Art:</u> Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt '''weiterhin''' 71%, durch den Test wird aber fälschlicherweise angenommen, dass der Anteil '''gestiegen''' ist. <br>
<u>Fehler 2. Art: </u>Der tatsächliche Anteil liegt''' über''' 71% (in dem Fall bei 76%), der Test erkennt dies aber nicht. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese '''nicht'''.
</div>


Den Fehler 1. Art, hast du bereits in dem Lernpfad kennen gelernt. Er wird durch das Signifikanuniveau <math>\alpha</math> kontrolliert. <br>
Die Grafik veranschaulicht beide Fehlerarten.<br><br>
Der blaue Graph ist der Fall der Nullhypothese <math>H_0</math> und der rote Graph ist die Verteilung, mit der für die Gruppe unbekannten Wahrscheinlichkeit von 2020. Der Fehler 1. Art ist rot markiert und der Fehler 2. Art grün.<br><br>
[[Datei:Grafikfehlerarten.png|800px]]


In den folgenden Übungen, kannst du dein Vertändnis und die Berechnung der beiden Fehler trainieren. <br>
'''Los geht´s !'''


{{Box|1=Übung 2: Rechtsseitiger Test|2=
{{Box|1=Übung 1: Fehlerarten bestimmen|2=
Ein Großabhnehmer hat in der letzten Zeit häufig mangelhafte Produkte erhalten. Daher will der Großabnehmer zeigen, dass mehr als 10% der Produkte defekt sind, um so eine Entschädigung zu erhalten. Es werden 100 Produkte überprüft  und das Signifikanzniveau auf 5% festgeleget. 10 von den 100 überprüften Pordukten sind defekt. Führe einen passenden Signifkanztest durch, was kann durch den Test gezeigt werden ?<br><br>
Die Partei, die den Klimawandel nicht als Bedrohung sieht, hofft, dass ihre Argumente im letzten Jahr gegen die Bedrohung des Klimawandels bei der Bevölkerung angekommen sind. Die Partei interessiert sich, ob dadurch der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
1. Schritt: Wahl der Nullhypothese <math>H_0</math> und der Gegenhypothese <math>H_1</math>
<br><math>H_0:p=0,71</math> und <math>H_1:p<0,71</math><br><br>
{{Lösung versteckt|1= Das Ziel eines Signifikanztest ist es die Nullhypothese zu verwerfen und somit zu zeigen, dass mit einer großen statistischen Sicherheit die Gegenhypothese gilt. Wähe also die Gegenhypothese so, dass sie die Interessen des Großabnehmers vertritt. Die zugehörige Gegenaussage ist dann die Nullhypothese.  
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art im Kausalzusammenhang besteht.
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
.<math>H_0:p\leq0,1</math> und <math>H_1:p>0,1</math> <br>
Der Fehler 1. Art besteht darin, dass weiterhin 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber fälschlicherweise vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.
}}
}}
 
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art im Kausalzusammenhang besteht.
2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus <math>\alpha</math>
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Der Fehler 2. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test dies aber nicht erkennt. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.
n=100 und <math>\alpha=5%</math>
}}
}}


3. Schritt: Definition der Zufallsvaraible X und angeben derer Verteilung wenn <math>H_0</math> stimmt
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
X ist die Anzahl von den 100 überprüften Produkten die mangelhaft sind.<br>
X ist im Grenzfall <math>B_{100,0.1} </math> -verteilt
}}


4. Schritt: Entscheidungsregel angeben
{{Lösung versteckt|1= Gesucht ist der kritische Wert bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit für X mindestens dem kritischen Wert ist und diese kleiner gleich dem festgelegten Signifikanzniveau <math>\alpha</math> ist.<br> Erinnere wie du Wahrscheinlichkeiten mit '''mindestens''' ausrechnen kannst.
|2=gestufte Hilfe einblenden|3= gestufte Hilfe ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>P(X\geq kr)\leq 0,05 \Rightarrow 1-P(X\leq kr-1)\leq0,05</math> <br> <math>P(X\leq kr-1)\geq0,95</math><br> Aus Ablesen der Tabelle erhalten wir <math>kr-1=15 \Rightarrow kr=16</math><br>
Annahmebereich:{0..15}, Verwerfungsbereich:{16...100}.
}}
5. Schritt: Entscheiden aufgrund des Ergebnisses der Stichprobe
{{Lösung versteckt|1=
Da 10 im Annahmebereich liegt, kann keine Aussage getroffen werden.
}}
|3=Arbeitsmethode}}


<br>


{{Fortsetzung|weiter=Klausurtraining - Signifikanztest|weiterlink=Klausurtraining_-_Signifikanztest}}
{{Fortsetzung|weiter=Klausurtraining - Signifikanztest|weiterlink=Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining_-_Signifikanztest}}

Aktuelle Version vom 9. März 2020, 13:33 Uhr

In den Klausuraufgaben wird von euch manchmal gefordert, die Fehlerarten, die bei einem Signifikanztest auftreten können, zu beschreiben. In folgendem Abschnitt soll dies nochmals kurz wiederholt werden und euch praktische Hinweise gegeben werden, wie ihr diese für die Klausuraufgaben beschreiben könnt.

Folgende Fehlerarten können beim Signifikanztest auftreten:

Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Der Fehler 1. Art wird oft auch als -Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers wird durch das festgelegte Signifikanzniveau kontrolliert.

Der Fehler 2. Art wird oft auch als -Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintreten dieses Fehlers nicht kontrollieren.

Anmerkung: Der Fehler 1. und 2. Art kann nur berechnet werden, wenn die tatsächliche Verteilung (also p) bekannt ist. Da dies eigentlich nie der Fall ist, ist die Diskussion etwas theoretisch.

Zur Veranschaulichung der beiden Fehlerarten betrachten wir wieder unser Beispiel:

Die Umweltgruppe will zeigen, dass durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt:
und
Der tatsächliche Wert, den die Gruppe natürlich nicht weiß, liegt im Jahr 2020 bei 76%. (Hinweis: Es ist ein fiktiver Wert) Welche Fehler können der Gruppe beim Testen unterlaufen?

Fehler 1. Art: Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt weiterhin 71%, durch den Test wird aber fälschlicherweise angenommen, dass der Anteil gestiegen ist.
Fehler 2. Art: Der tatsächliche Anteil liegt über 71% (in dem Fall bei 76%), der Test erkennt dies aber nicht. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.

Die Grafik veranschaulicht beide Fehlerarten.

Der blaue Graph ist der Fall der Nullhypothese und der rote Graph ist die Verteilung, mit der für die Gruppe unbekannten Wahrscheinlichkeit von 2020. Der Fehler 1. Art ist rot markiert und der Fehler 2. Art grün.

Grafikfehlerarten.png


Übung 1: Fehlerarten bestimmen

Die Partei, die den Klimawandel nicht als Bedrohung sieht, hofft, dass ihre Argumente im letzten Jahr gegen die Bedrohung des Klimawandels bei der Bevölkerung angekommen sind. Die Partei interessiert sich, ob dadurch der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
und

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 1. Art besteht darin, dass weiterhin 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber fälschlicherweise vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 2. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test dies aber nicht erkennt. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.



Klausurtraining - Signifikanztest
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