Integralrechnung/Aufgaben

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Aufgabe 4

Bestimme jeweils eine Stammfunktion $F(x)$ zu folgenden Funktionen $f(x)$ durch umgekehrte Differentiation.

1. $f(x)=x^{2}$
2. $f(x)=x^{3}$
3. $f(x)=3x$
4. $f(x)=x^{5}$
5. $f(x)=5x^{2}$
6. $f(x)=x^{4}$
7. $f(x)=2$
8. $f(t)=2t^{5}$
9. $f(x)={\frac {2}{5x^{2}}}$
10. $f(x)=\cos {(3x)}$ (nur Lk)
11. $f(x)=x+2\sin {(2x)}$ (nur Lk)
12. $f(x)=e^{x}$
13. $f(x)=e^{-x}$
14. $f(x)=2\cdot e^{x}$
15. $f(x)=e^{-3x}$
16. $f(x)={\frac {1}{3}}e^{x+5}$
17. $f(x)=1+e^{{\frac {1}{2}}x}$
18. $f(x)={\frac {5}{2}}e^{2x-2}$

Die allgemeinen Lösungen lauten:

1. $F(x)={\frac {1}{3}}\cdot x^{3}$
2. $F(x)={\frac {1}{4}}\cdot x^{4}$
3. $F(x)={\frac {3}{2}}\cdot x^{2}$
4. $F(x)={\frac {1}{6}}\cdot x^{6}$
5. $F(x)={\frac {5}{3}}\cdot x^{3}$
6. $F(x)={\frac {1}{5}}\cdot x^{5}$
7. $F(x)=2x$
8. $F(t)={\frac {1}{3}}\cdot t^{6}$
9. $F(x)=-{\frac {2}{5}}x^{-1}=-{\frac {2}{5x}}$
10. $F(x)={\frac {1}{3}}\sin {(3x)}$
11. $F(x)={\frac {1}{2}}\cdot x^{2}-\cos {(2x)}$
12. $F(x)=e^{x}$
13. $F(x)=-e^{-x}$
14. $F(x)=2\cdot e^{x}$
15. $F(x)=-{\frac {1}{3}}\cdot e^{-3x}$
16. $F(x)={\frac {1}{3}}e^{x+5}$
17. $F(x)=x+2e^{{\frac {1}{2}}x}$
18. $F(x)={\frac {5}{4}}e^{2x-2}$

Frage

Wie lautet die (allgemeine) Stammfunktion zur allgemeinen Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^{n}$?

$F(x)={\frac {a}{n+1}}\cdot x^{n+1}+c$

Hauptsatz