Grenzwerte spezieller Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Lernpfad|
{{Box|Lernpfad|
Willkommen beim Lernpfad zur '''Bestimmung der Grenzwerte der bisher bekannten Funktionstypen'''
Willkommen beim Lernpfad zur '''Bestimmung der Grenzwerte der bisher bekannten Funktionstypen'''
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* Du kannst das Verhalten der Grundformen der Funktionen für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte beschreiben und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.
* Du kannst das Verhalten der Grundformen der Funktionen für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte beschreiben und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.


* Du kannst die Grenzwerte verschiedener Funktionen anhand des Funktionsterms bestimmen.
* Du kannst die Grenzwerte verschiedener Funktionen anhand des Funktionsterms bestimmen.[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}
|Lernpfad}}




 
=='''Hinweise zur Bearbeitung'''==
== '''Hinweise zur Bearbeitung'''==
   
   
* Behandle die Aufgaben der Reihe nach.
*Behandle die Aufgaben der Reihe nach.
 
* Notiere dir selbständig die gewonnenen Erkenntnisse zu den Grenzwerten der jeweiligen Funktionen in dein Heft.  


* Die Lösungen am Ende jeder Aufgabe können dir dabei helfen. Nutze sie möglichst nur, um deine Ergebnisse zu überprüfen.
*Notiere dir selbständig die gewonnenen Erkenntnisse zu den Grenzwerten der jeweiligen Funktionen in dein Heft.


*Die Lösungen am Ende jeder Aufgabe können dir dabei helfen. Nutze sie möglichst nur, um deine Ergebnisse zu überprüfen.




== Exponentialfunktionen ==
==Exponentialfunktionen==


=== Verhalten im Unendlichen der Grundform  <math>f(x)=a^{x}</math>, a>0 ===
===Verhalten im Unendlichen der Grundform  <math>f(x)=a^{x}</math>, a>0===


{{Aufgabe|1=Untersuche die Funktion <math>f(x)=a^{x}</math> mit Hilfe des Schiebereglers a und beantworte die Fragen.
{{Box|1=Verhalten im Unendlichen|2=Untersuche die Funktion <math>f(x)=a^{x}</math> mit Hilfe des Schiebereglers a und beantworte die Fragen.
::a) Welche zwei Fälle  müssen für a unterschieden werden?  
::a) Welche zwei Fälle  müssen für a unterschieden werden?  
::b) Gib die Grenzwerte <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)</math> und <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> in Abhängigkeit von a an.
::b) Gib die Grenzwerte <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)</math> und <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> in Abhängigkeit von a an.


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----
{{Lösung versteckt|
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
::a) Fall1: a>1, Fall2: 0<a<1
::a) Fall1: a>1, Fall2: 0<a<1
::b)  
::b)  
::::* a > 1:      <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0</math> und <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math>
::::* a > 1:      <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0</math> und <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math>
::::* 0 < a < 1:  <math>\Rightarrow</math>  <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty</math> und <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>
::::* 0 < a < 1:  <math>\Rightarrow</math>  <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty</math> und <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>
}}
|3=Arbeitsmethode}}


</div>


}}
===Verhalten im Unendlichen der Form  <math>f(x)=b\cdot a^{x}+d</math>, mit <math>b, d\in \mathbb{R}</math>===


=== Verhalten im Unendlichen der Form  <math>f(x)=b\cdot a^{x}+d</math>, mit <math>b, d\in \mathbb{R}</math>  ===
{{Box|1=Verhalten im Unendlichen|2=Untersuche die Funktionen <math>f(x)=b\cdot2,5^{x}+d</math> und <math>f(x)=b\cdot0,3^{x}+d</math> mit Hilfe der Schieberegler b und d und beantworte die Fragen.
 
{{Aufgabe|1=Untersuche die Funktionen <math>f(x)=b\cdot2,5^{x}+d</math> und <math>f(x)=b\cdot0,3^{x}+d</math> mit Hilfe der Schieberegler b und d und beantworte die Fragen.
::a) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von b auf den Verlauf des Graphen?  
::a) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von b auf den Verlauf des Graphen?  
::b) Welchen Einfluss hat d auf den Verlauf des Graphen?  
::b) Welchen Einfluss hat d auf den Verlauf des Graphen?  
::c) Was kannst du über die waagrechte Asymptote in Abhängigkeit von b und d sagen? Begründe!
::c) Was kannst du über die waagrechte Asymptote in Abhängigkeit von b und d sagen? Begründe!


<ggb_applet width="700" height="575"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
<ggb_applet width="700" height="575"  version="4.0" id="mhy2rs4c" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />


----
|3=Arbeitsmethode}}


<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
{{Lösung versteckt|
::a) Ein negatives Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse.
::a) Ein negatives Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse.
::b) Je nach Vorzeichen von d wird der Graph noch oben (d>0) oder nach unten (d<0) verschoben.
::b) Je nach Vorzeichen von d wird der Graph noch oben (d>0) oder nach unten (d<0) verschoben.
::c) b hat keinen Einfluss auf die waagrechte Asymptote, denn das Grenzwertverhalten ist nur vom Faktor <math>a^{x}</math> abhängig.
::c) b hat keinen Einfluss auf die waagrechte Asymptote, denn das Grenzwertverhalten ist nur vom Faktor <math>a^{x}</math> abhängig.
::: Es gilt für die waagrechte Asymptote <math>y = d</math>, denn <math>\lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} = 0 </math> also <math>\lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} +d = 0 + d = d </math>, a > 1  (Analog für 0< a < 1)
::: Es gilt für die waagrechte Asymptote <math>y = d</math>, denn <math>\lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} = 0 </math> also <math>\lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} +d = 0 + d = d </math>, a > 1  (Analog für 0< a < 1)
</div>
}}
}}


=== Aufgaben ===
===Aufgaben===
{{Aufgabe|'''1.''' Gib die Grenzwerte <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)</math> und <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> der folgenden Funktionen an.
{{Box|1=Bestimme die Grenzwerte|2='''1.''' Gib die Grenzwerte <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)</math> und <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> der folgenden Funktionen an.
::a) <math>f(x)=0,7^x</math>
::a) <math>f(x)=0,7^x</math>
::b) <math>f(x)=7^x</math>
::b) <math>f(x)=7^x</math>
Zeile 83: Zeile 76:
::g) <math>f(x)=0,4^x-3</math>
::g) <math>f(x)=0,4^x-3</math>
::h) <math>f(x)=5-1,5\cdot 3^x</math>
::h) <math>f(x)=5-1,5\cdot 3^x</math>
|3=Arbeitsmethode}}


}}
{{Lösung versteckt|
 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
::a) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>
::a) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>


::b) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math>
::b) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math>


::c) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>
::c) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>


::d) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>
::d) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>


::e) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>
::e) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>


::f) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=1</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math>
::f) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=1</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math>


::g) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=-3</math>
::g) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=-3</math>


::h) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=5</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty</math>
::h) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=5</math>, <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty</math>
}}




</div>
=='''Ganzrationale Funktionen'''==
 
 
 
== '''Ganzrationale Funktionen''' ==
 
Das Grenzwertverhalten von ganzrationalen Funktionen wurde im vorherigen Kapitel bereits untersucht. Vgl. [http://wiki.zum.de/Eigenschaften_ganzrationaler_Funktionen Lernpfad Eigenschaften ganzrationaler Funktionen] bzw. [[:Datei: Lösung AB.pdf]]


{{Aufgabe|1=
{{Box|1=Grenzverhalten Ganzrationaler Funktionen|2=
::a) Wiederhole noch einmal die Erkenntnisse zum Grenzwertverhalten der Funktionen aus dem letzten Kapitel.  
::a) In dem Lernpfad [[Eigenschaften_ganzrationaler_Funktionen|Eigenschaften ganzrationaler Funktionen]] wurde das Grenzverhalten von ganzrationalen Funktionen bereits untersucht. Wiederhole noch einmal die Erkenntnisse zum Grenzwertverhalten..  
::b) Übersetze die Ergebnisse in die mathematische Schreibweise.
::b) Übersetze die Ergebnisse in die mathematische Schreibweise.
|3=Arbeitsmethode}}


<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
{{Lösung versteckt|
::a) vgl. Kapitel 5.2 oder Lernpfad zum Verhalten ganzrationaler Funktionen
[[:Datei: Lösung AB.pdf]]
::b) In Abhängigkeit des Summanden mit der höchsten Potenz gilt <math>\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=\pm \infty</math>, sie sind also in beide Richtungen bestimmt divergent.
In Abhängigkeit des Summanden mit der höchsten Potenz gilt <math>\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=\pm \infty</math>, sie sind also in beide Richtungen bestimmt divergent.
</div>
 
}}
}}




== '''Trigonometrische Funktionen''' ==
=='''Trigonometrische Funktionen'''==


{{Aufgabe|1= Betrachte die Verläufe der beiden trigonometrischen Funktionen f(x) = sinx und g(x) = cosx.
{{Box|1= Grenzverhalten Trigonometrischer Funktionen|2= Betrachte die Verläufe der beiden trigonometrischen Funktionen f(x) = sinx und g(x) = cosx.
::a) Welches Grenzwertverhalten weisen die beiden Funktionen auf?
::a) Welches Grenzwertverhalten weisen die beiden Funktionen auf?
::a) Haben Veränderungen der Parameter einen Einfluss auf das Grenzwertverhalten?
::a) Haben Veränderungen der Parameter einen Einfluss auf das Grenzwertverhalten?
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|3=Arbeitsmethode}}


<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
{{Lösung versteckt|
::a) Sie sind in beide Richtungen unbestimmt divergent.
::a) Sie sind in beide Richtungen unbestimmt divergent.
::b) Nein!
::b) Nein!
</div>
}}
}}


== Übungsaufgaben ==
==Übungsaufgaben==


{{Aufgabe|'''1.''' Bestimme die Grenzwerte für <math>x\rightarrow \pm \infty</math> der folgenden Funktionen und begründe deine Antwort.
{{Box|1=Grenzwerte|2='''1.''' Bestimme die Grenzwerte für <math>x\rightarrow \pm \infty</math> der folgenden Funktionen und begründe deine Antwort.
::a) <math>f(x) = 1 + 0,5^{-x}</math>
::a) <math>f(x) = 1 + 0,5^{-x}</math>
::b) <math>g(x)=\frac{1}{x^{3}} - 3</math>
::b) <math>g(x)=\frac{1}{x^{3}} - 3</math>
Zeile 158: Zeile 134:
::f) <math>g(x)=4^{x} + 4^{-x}</math>
::f) <math>g(x)=4^{x} + 4^{-x}</math>
::g) <math>g(x)=4^{x} - 4^{-x}</math>
::g) <math>g(x)=4^{x} - 4^{-x}</math>
|3=Üben}}


}}  
{{Box|1=Bestimme die Funktionsterme|2='''2.''' Ordne zu!
<div class="lueckentext-quiz" style="text-align: center;">
{{{!}}
{{!}}-
{{!}} style="padding:5px" {{!}} [[Bild:B1.m.png]]
{{!}} style="padding:5px" {{!}} [[Bild:B1.k.png]] 
{{!}} style="padding:5px" {{!}} [[Bild:B1.h.png]]
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{{!}} style="padding:5px" {{!}} [[Bild:B1.g.png]]
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{{!}}-
{{!}} <strong>y = [x<sup>2</sup>+1]/[2x] </strong> {{!}}{{!}} <strong>y =-2x<sup>3</sup>+3x+1 {{!}}{{!}} <strong>y = sin[4x]+1 </strong> {{!}}{{!}} <strong>y = [3-x]<sup>4</sup> </strong> {{!}}{{!}} <strong>y = 3-2,5<sup>x</sup> </strong> {{!}}{{!}} <strong>y = [x-1]/[x-1,5] </strong> {{!}}{{!}} <strong>y = 0,3<sup>x</sup>-2 </strong>
{{!}}}
</div>
|3=Üben}}


{{Aufgabe|'''2.''' Ordne zu!}}
==Vertiefende Aufgaben==
<div class="lueckentext-quiz">


a) [[Bild:B1.m.png]]    b) [[Bild:B1.k.png]]    c) [[Bild:B1.h.png]]    d) [[Bild:B1.l.png]]    e) [[Bild:B1.g.png]]  f) [[Bild:B1.f.png]]  g) [[Bild:B1.i.png]] 
{{Box|1=Grenzwerte bestimmen|2='''3.''' Untersuche die Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x}cosx</math> mit Geogebra.
 
::a) Bestimme die Grenzwerte mit Hilfe einer Zeichnung.
a) '''<math>m(x)=\frac{x^{2}+1}{2x}</math>'''  b) '''<math>k(x)=-2x^{3}+3x+1</math>'''  c) '''<math>h(x)=sin(4x)+1</math>'''  d) '''<math>l(x)=(3-x)^{4}</math>'''  e) '''<math>g(x)=3-2,5^{x}</math>'''  f) '''<math>f(x)=\frac{x-1}{x-1,5}</math>'''  g) '''<math>i(x)=0,3^{x}-2</math>'''
</div>
 
== Vertiefende Aufgaben ==
 
{{Aufgabe|'''3.''' Untersuche die Funktion <math>f(x)=\frac{1}{x}cosx</math> mit Geogebra.
::a) Bestimme die Grenzwerte mit Hilfe der Zeichnung.
::b) Begründe deine Ergebnisse unabhängig von der Zeichnung.
::b) Begründe deine Ergebnisse unabhängig von der Zeichnung.
::c) Wie verändern sich die Ergebnisse für <math>f(x)=\cos(\frac{1}{x})</math>? Begründe.
::c) Wie verändern sich die Ergebnisse für <math>f(x)=\cos(\frac{1}{x})</math>? Begründe.
}}
|3=Üben}}


<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
{{Lösung versteckt|
::a) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>
::a) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math>


::b) f(x) ist das Produkt der Funktionen <math>g(x)=\frac{1}{x}</math> und <math>h(x)=sinx</math>. Es gilt <math>\lim_{x\to-\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=0</math>, h(x) liegt immer zwischen -1 und 1. Daher konvergiert das Produkt aus beiden Funktion für <math>x\rightarrow \infty</math> gegen 0.
::b) f(x) ist das Produkt der Funktionen <math>g(x)=\frac{1}{x}</math> und <math>h(x)=sinx</math>. Es gilt <math>\lim_{x\to-\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=0</math>, h(x) liegt immer zwischen -1 und 1. Daher konvergiert das Produkt aus beiden Funktion für <math>x\rightarrow \infty</math> gegen 0.


::c) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=1</math>, denn <math>\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0</math> und <math>cos(0)=1</math>.
::c) <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=1</math>, denn <math>\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0</math> und <math>cos(0)=1</math>.
 
}}
</div>
 
 




{{Aufgabe|'''4.''' Untersuche die Funktionen <math>f(x)=\frac{1}{x}2^{x}</math> und <math>g(x)=x2^{x}</math>.
{{Box|1=Grenzwerte bestimmen|2='''4.''' Untersuche die Funktionen <math>f(x)=\frac{1}{x}2^{x}</math> und <math>g(x)=x2^{x}</math>.
::a) Bestimme die Grenzwerte <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)</math> und <math>\lim_{x\to\infty} g(x)</math>
::a) Bestimme die Grenzwerte <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)</math> und <math>\lim_{x\to\infty} g(x)</math>
::b) In welchen Fällen ist eine korrekte Begründug schwierig? Was ist die Ursache?
::b) In welchen Fällen ist eine korrekte Begründug schwierig? Was ist die Ursache?
}}
|3=Üben}}


<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
{{Lösung versteckt|1=
::a) f(x):  <math>\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0</math> und <math>\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0</math>. Daher gilt  <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0\cdot0=0</math>   
::a) f(x):  <math>\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0</math> und <math>\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0</math>. Daher gilt  <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0\cdot0=0</math>   


::: g(x):  <math>\lim_{x\to\infty}x=\infty</math>  und  <math>\lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty</math>. Daher gilt <math>\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty\cdot\infty=\infty</math>  
:::g(x):  <math>\lim_{x\to\infty}x=\infty</math>  und  <math>\lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty</math>. Daher gilt <math>\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty\cdot\infty=\infty</math>  




::b) f(x):  <math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0</math>  und <math>\lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty</math>. Damit gilt <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0\cdot\infty=\infty</math>  !???
::b) f(x):  <math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0</math>  und <math>\lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty</math>. Damit gilt <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0\cdot\infty=\infty</math>  !???


::: g(x):  <math>\lim_{x\to-\infty}x=-\infty</math> und <math>\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0</math>. Damit gilt <math>\lim_{x\to-\infty} g(x)= -\infty\cdot0=0</math>  !???
:::g(x):  <math>\lim_{x\to-\infty}x=-\infty</math> und <math>\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0</math>. Damit gilt <math>\lim_{x\to-\infty} g(x)= -\infty\cdot0=0</math>  !???
 
</div>
 
 
 
{{Aufgabe|'''5:''' Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=cos(\frac{1^}{x^{2}})^{x^{2}}</math>
::a) Welche Grenzwerte würdest du erwarten?
::b) Überprüfe deine Ergebnisse mit einer Zeichnung (z.B. mit GeoGebra).
}}
}}


 
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Lernpfade/Mathematik]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
 
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Grenzwerte spezieller Funktionen,Grenzwert,Grenzwerte,Funktion,Funktionen,Mathematik,Lernpfad</metakeywords>
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Analysis]]

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:21 Uhr

Lernpfad

Willkommen beim Lernpfad zur Bestimmung der Grenzwerte der bisher bekannten Funktionstypen

In der aktuellen Unterrichtseinheit geht es um die Untersuchung des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen. In diesem Lernpfad sollst du selbständig das Verhalten der bisher bekannten Funktionen (Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, ganzrationale Funktionen und gebrochenrationale Funktionen) für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte untersuchen und festhalten.


Voraussetzungen

  • Du kennst die Grundform sowie die wichtigsten Eigenschaften der folgenden Funktionen und kannst ihren Verlauf beschreiben und skizzieren: Exponentialfunktion, Sinusfunktion, ganzrationale Funktion, gebrochenrationale Funktion.
  • Du weißt, was der Grenzwert einer Funktion ist und kennst die Schreibweise:
  • Die Begriffe Konvergenz und Divergenz sind dir geläufig und du erkennst am Verlauf eines Graphen, wann das Jeweilige vorliegt.

Ziele

  • Du kannst das Verhalten der Grundformen der Funktionen für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte beschreiben und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.
  • Du kannst die Grenzwerte verschiedener Funktionen anhand des Funktionsterms bestimmen.
    Mathematik-digital


Hinweise zur Bearbeitung

  • Behandle die Aufgaben der Reihe nach.
  • Notiere dir selbständig die gewonnenen Erkenntnisse zu den Grenzwerten der jeweiligen Funktionen in dein Heft.
  • Die Lösungen am Ende jeder Aufgabe können dir dabei helfen. Nutze sie möglichst nur, um deine Ergebnisse zu überprüfen.


Exponentialfunktionen

Verhalten im Unendlichen der Grundform , a>0

Verhalten im Unendlichen

Untersuche die Funktion mit Hilfe des Schiebereglers a und beantworte die Fragen.

a) Welche zwei Fälle müssen für a unterschieden werden?
b) Gib die Grenzwerte und in Abhängigkeit von a an.
GeoGebra
a) Fall1: a>1, Fall2: 0<a<1
b)
  • a > 1: und
  • 0 < a < 1: und


Verhalten im Unendlichen der Form , mit

Verhalten im Unendlichen

Untersuche die Funktionen und mit Hilfe der Schieberegler b und d und beantworte die Fragen.

a) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von b auf den Verlauf des Graphen?
b) Welchen Einfluss hat d auf den Verlauf des Graphen?
c) Was kannst du über die waagrechte Asymptote in Abhängigkeit von b und d sagen? Begründe!
GeoGebra
a) Ein negatives Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse.
b) Je nach Vorzeichen von d wird der Graph noch oben (d>0) oder nach unten (d<0) verschoben.
c) b hat keinen Einfluss auf die waagrechte Asymptote, denn das Grenzwertverhalten ist nur vom Faktor abhängig.
Es gilt für die waagrechte Asymptote , denn also , a > 1 (Analog für 0< a < 1)

Aufgaben

Bestimme die Grenzwerte

1. Gib die Grenzwerte und der folgenden Funktionen an.

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) ,
h) ,


Ganzrationale Funktionen

Grenzverhalten Ganzrationaler Funktionen
a) In dem Lernpfad Eigenschaften ganzrationaler Funktionen wurde das Grenzverhalten von ganzrationalen Funktionen bereits untersucht. Wiederhole noch einmal die Erkenntnisse zum Grenzwertverhalten..
b) Übersetze die Ergebnisse in die mathematische Schreibweise.

Datei: Lösung AB.pdf In Abhängigkeit des Summanden mit der höchsten Potenz gilt , sie sind also in beide Richtungen bestimmt divergent.


Trigonometrische Funktionen

Grenzverhalten Trigonometrischer Funktionen

Betrachte die Verläufe der beiden trigonometrischen Funktionen f(x) = sinx und g(x) = cosx.

a) Welches Grenzwertverhalten weisen die beiden Funktionen auf?
a) Haben Veränderungen der Parameter einen Einfluss auf das Grenzwertverhalten?
GeoGebra
a) Sie sind in beide Richtungen unbestimmt divergent.
b) Nein!

Übungsaufgaben

Grenzwerte

1. Bestimme die Grenzwerte für der folgenden Funktionen und begründe deine Antwort.

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

Bestimme die Funktionsterme

2. Ordne zu!

B1.m.png B1.k.png B1.h.png B1.l.png B1.g.png B1.f.png B1.i.png
y = [x2+1]/[2x] y =-2x3+3x+1 y = sin[4x]+1 y = [3-x]4 y = 3-2,5x y = [x-1]/[x-1,5] y = 0,3x-2

Vertiefende Aufgaben

Grenzwerte bestimmen

3. Untersuche die Funktion mit Geogebra.

a) Bestimme die Grenzwerte mit Hilfe einer Zeichnung.
b) Begründe deine Ergebnisse unabhängig von der Zeichnung.
c) Wie verändern sich die Ergebnisse für ? Begründe.
a)
b) f(x) ist das Produkt der Funktionen und . Es gilt , h(x) liegt immer zwischen -1 und 1. Daher konvergiert das Produkt aus beiden Funktion für gegen 0.
c) , denn und .


Grenzwerte bestimmen

4. Untersuche die Funktionen und .

a) Bestimme die Grenzwerte und
b) In welchen Fällen ist eine korrekte Begründug schwierig? Was ist die Ursache?
a) f(x): und . Daher gilt
g(x): und . Daher gilt


b) f(x): und . Damit gilt  !???
g(x): und . Damit gilt  !???