Grenzwerte spezieller Funktionen

Lernpfad

Willkommen beim Lernpfad zur Bestimmung der Grenzwerte der bisher bekannten Funktionstypen

In der aktuellen Unterrichtseinheit geht es um die Untersuchung des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen. In diesem Lernpfad sollst du selbständig das Verhalten der bisher bekannten Funktionen (Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, ganzrationale Funktionen und gebrochenrationale Funktionen) für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte untersuchen und festhalten.

Voraussetzungen

• Du kennst die Grundform sowie die wichtigsten Eigenschaften der folgenden Funktionen und kannst ihren Verlauf beschreiben und skizzieren: Exponentialfunktion, Sinusfunktion, ganzrationale Funktion, gebrochenrationale Funktion.

• Du weißt, was der Grenzwert einer Funktion ist und kennst die Schreibweise: $\lim _{x\to \infty }f(x)$
• Die Begriffe Konvergenz und Divergenz sind dir geläufig und du erkennst am Verlauf eines Graphen, wann das Jeweilige vorliegt.

Ziele

• Du kannst das Verhalten der Grundformen der Funktionen für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte beschreiben und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.

• Du kannst die Grenzwerte verschiedener Funktionen anhand des Funktionsterms bestimmen.
  

Hinweise zur Bearbeitung

• Behandle die Aufgaben der Reihe nach.

• Notiere dir selbständig die gewonnenen Erkenntnisse zu den Grenzwerten der jeweiligen Funktionen in dein Heft.

• Die Lösungen am Ende jeder Aufgabe können dir dabei helfen. Nutze sie möglichst nur, um deine Ergebnisse zu überprüfen.

Exponentialfunktionen

Verhalten im Unendlichen der Grundform $f(x)=a^{x}$, a>0

Verhalten im Unendlichen

Untersuche die Funktion $f(x)=a^{x}$ mit Hilfe des Schiebereglers a und beantworte die Fragen.

a) Welche zwei Fälle müssen für a unterschieden werden?

b) Gib die Grenzwerte $\lim _{x\to -\infty }f(x)$ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)} in Abhängigkeit von a an.

a) Fall1: a>1, Fall2: 0<a<1

b)

• a > 1: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty}
• 0 < a < 1: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=0}

Verhalten im Unendlichen der Form Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=b\cdot a^{x}+d} , mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b, d\in \mathbb{R}}

Verhalten im Unendlichen

Untersuche die Funktionen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=b\cdot2,5^{x}+d} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=b\cdot0,3^{x}+d} mit Hilfe der Schieberegler b und d und beantworte die Fragen.

a) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von b auf den Verlauf des Graphen?

b) Welchen Einfluss hat d auf den Verlauf des Graphen?

c) Was kannst du über die waagrechte Asymptote in Abhängigkeit von b und d sagen? Begründe!

a) Ein negatives Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse.

b) Je nach Vorzeichen von d wird der Graph noch oben (d>0) oder nach unten (d<0) verschoben.

c) b hat keinen Einfluss auf die waagrechte Asymptote, denn das Grenzwertverhalten ist nur vom Faktor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^{x}} abhängig.

Es gilt für die waagrechte Asymptote Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = d} , denn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} = 0 } also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} +d = 0 + d = d } , a > 1 (Analog für 0< a < 1)

Aufgaben

Bestimme die Grenzwerte

1. Gib die Grenzwerte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)} der folgenden Funktionen an.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=0,7^x}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=7^x}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=5\cdot 0,3^x}

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=-0,5^x}

e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=-2\cdot 0,7^x}

f) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=4,1^x+1}

g) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=0,4^x-3}

h) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=5-1,5\cdot 3^x}

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=0}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=0} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=0}

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=0}

e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=0}

f) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=1} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty}

g) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=-3}

h) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=5} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty}

Ganzrationale Funktionen

Grenzverhalten Ganzrationaler Funktionen

a) In dem Lernpfad Eigenschaften ganzrationaler Funktionen wurde das Grenzverhalten von ganzrationalen Funktionen bereits untersucht. Wiederhole noch einmal die Erkenntnisse zum Grenzwertverhalten..

b) Übersetze die Ergebnisse in die mathematische Schreibweise.

Datei: Lösung AB.pdf In Abhängigkeit des Summanden mit der höchsten Potenz gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} f(x)=\pm \infty} , sie sind also in beide Richtungen bestimmt divergent.

Trigonometrische Funktionen

Grenzverhalten Trigonometrischer Funktionen

Betrachte die Verläufe der beiden trigonometrischen Funktionen f(x) = sinx und g(x) = cosx.

a) Welches Grenzwertverhalten weisen die beiden Funktionen auf?

a) Haben Veränderungen der Parameter einen Einfluss auf das Grenzwertverhalten?

a) Sie sind in beide Richtungen unbestimmt divergent.

b) Nein!

Übungsaufgaben

Grenzwerte

1. Bestimme die Grenzwerte für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\rightarrow \pm \infty} der folgenden Funktionen und begründe deine Antwort.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = 1 + 0,5^{-x}}

b) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^{3}} - 3}

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=(x+3)^{4}-1}

d) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=0,7^{x}-\frac{7}{x}}

e) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=2cos(x-3)}

f) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=4^{x} + 4^{-x}}

g) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=4^{x} - 4^{-x}}

Bestimme die Funktionsterme

2. Ordne zu!

y = [x2+1]/[2x]	y =-2x3+3x+1	y = sin[4x]+1	y = [3-x]4	y = 3-2,5x	y = [x-1]/[x-1,5]	y = 0,3x-2

Vertiefende Aufgaben

Grenzwerte bestimmen

3. Untersuche die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}cosx} mit Geogebra.

a) Bestimme die Grenzwerte mit Hilfe einer Zeichnung.

b) Begründe deine Ergebnisse unabhängig von der Zeichnung.

c) Wie verändern sich die Ergebnisse für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=\cos(\frac{1}{x})} ? Begründe.

a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=0}

b) f(x) ist das Produkt der Funktionen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=\frac{1}{x}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(x)=sinx} . Es gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=0} , h(x) liegt immer zwischen -1 und 1. Daher konvergiert das Produkt aus beiden Funktion für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\rightarrow \infty} gegen 0.

c) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=1} , denn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle cos(0)=1} .

Grenzwerte bestimmen

4. Untersuche die Funktionen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}2^{x}} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x)=x2^{x}} .

a) Bestimme die Grenzwerte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} g(x)}

b) In welchen Fällen ist eine korrekte Begründug schwierig? Was ist die Ursache?

a) f(x): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty}2^{x}=0} . Daher gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=0\cdot0=0}

g(x): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty}x=\infty} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty} . Daher gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} g(x)=\infty\cdot\infty=\infty}

b) f(x): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty} . Damit gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=0\cdot\infty=\infty}  !???

g(x): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty}x=-\infty} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty}2^{x}=0} . Damit gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to-\infty} g(x)= -\infty\cdot0=0}  !???