Erdbeben und Logarithmus/Logarithmische Skalen

Erdbeben und Logarithmus

1. Entstehung von Erdbeben
2. Erdbeben in Österreich
3. Stärke von Erdbeben
4. Der Logarithmus
5. Logarithmische Skalen
6. Verhalten bei einem Erdbeben
7. Tsunamis (Optional)
8. Abschluss

Info: Einstieg

Wir haben nun den Logarithmus aus der Sicht der Mathematik kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir herausfinden, warum er für die Angabe der Stärke von Erdbeben verwendet wird. Wiederholen wir zunächst die Definition der Magnitude.

Im folgenden Kapitel ist immer die Rede vom dekadischen Logarithmus ($\lg$). $M$ bezeichnet die Richter- oder Lokal-Magnitude, diese Größe findet man in den meisten Quellen mit $M_{L}$. $A$ beschreibt den Maximalausschlag eines Seismometers nach Wood und Anderson.

Merke: Definition der Richter-Magnitude

Die Richter-Magnitude oder Lokal-Magnitude ist nach Franz Embacher (2013) folgendermaßen definiert:

In einer Entfernung von 100 km vom Epizentrum wird der durch das Beben verursachte Maximalausschlag A eines Seismometers nach Wood und Anderson gemessen und in Mikrometer [...] angegeben. Dann ist

$M = \lg A,$

wobei lg der Logarithmus zur Basis 10 ist.

Wie kann man den Maximalausschlag $A$ in 100 km Entfernung in Mikrometer berechnen, wenn man die Lokal-Magnitude kennt?

$A = 10^{M}$

Warum kommt eine Steigerung der Lokal-Magnitude um eine Einheit einer Verzehnfachung des Ausschlags gleich?

$10^{M+1} = 10 \cdot 10^{M}$ bzw. $M+1 = \lg A + 1 = \lg A + \lg 10 = \lg (A \cdot 10).$

Auch die bei einem Erdbeben freigesetzte Energie ($E$) hängt exponentiell von $M$ ab:

$E \approx k \cdot 10^{\frac{3M}{2}}$ mit $k \approx 6 \cdot 10^{4} Joule.$

Somit ist sie näherungsweise proportional zu $A^{\frac{3}{2}}$ und somit zu

$10^{\frac{3M}{2}}=(10^{\frac{3}{2}})^{M} \approx 32^{M}.$

Steigt die Lokal-Magnitude um 1, entspricht das also einer Ver-32-fachung der freigesetzten Energiemenge. Die Magnitude wird aus diesem Grund auch logarithmisches Maß genannt.

Der Logarithmus

Verhalten bei einem Erdbeben