Erdbeben und Logarithmus/Logarithmische Skalen

Erdbeben und Logarithmus

1. Entstehung von Erdbeben
2. Erdbeben in Österreich
3. Stärke von Erdbeben
4. Der Logarithmus
5. Logarithmische Skalen
6. Verhalten bei einem Erdbeben
7. Tsunamis (Optional)
8. Abschluss

Info: Einstieg

Wir haben nun den Logarithmus aus der Sicht der Mathematik kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir herausfinden, warum er für die Angabe der Stärke von Erdbeben verwendet wird. Wiederholen wir zunächst die Definition der Magnitude.

Im folgenden Kapitel ist immer die Rede vom dekadischen Logarithmus ($\lg$). $M$ bezeichnet die Richter- oder Lokal-Magnitude und $A$ den Maximalausschlag eines Seismometers nach Wood und Anderson.

Merke: Definition der Richter-Magnitude

Die Richter-Magnitude oder Lokal-Magnitude ist nach Franz Embacher (2013) folgendermaßen definiert:

In einer Entfernung von 100 km vom Epizentrum wird der durch das Beben verursachte Maximalausschlag A eines Seismometers nach Wood und Anderson gemessen und in Mikrometer [...] angegeben. Dann ist

$M = \lg A,$

wobei lg der Logarithmus zur Basis 10 ist.

Kennt man die Lokal-Magnitude, so kann man den Maximalausschlag A in 100 km Entfernung in Mikrometer mit

$A = 10^{M}$

berechnen.

Steigt die Lokal-Magnitude um eine Einheit, kommt das einer Verzehnfachung des Ausschlags gleich, da

$10^{M+1} = 10 \cdot 10^{M}$ bzw. $M+1 = \lg A + 1 = \lg A + \lg 10 = \lg (A \cdot 10)$.

Auch die bei einem Erdbeben freigesetzte Energie (E) hängt exponentiell von $M$ ab:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle E \approx k \cdot 10^{\frac{3M}{2}} mit $k \approx 6 \cdot 10^{4} Joule$.

Somit ist sie näherungsweise proportional zu Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle A^{\frac{3}{2}} und somit zu

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 10^{\frac{3M}{2}=(10^{\frac{3}{2})^{M} \approx 32^{M}} .

Der Logarithmus

Verhalten bei einem Erdbeben