Main>Roland Weber |
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| Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
| | {{Box|1=Lernpfad|2= |
| | Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. |
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| == Einstiegsaufgaben ==
| | Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik. |
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| ===== Blumenvase =====
| | Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie '''mittlere und momentane Änderungsrate''', '''Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient''' und '''Ableitung''' kennen. |
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| | Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt. |
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| In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
| | Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. |
| <math>h(t)=0,001(t+8)^3</math>
| | [[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]] |
| | |3=Lernpfad}} |
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| Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?
| | {{Einführung in die Differentialrechnung}} |
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| ===== Barringer-Krater =====
| | Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben. |
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| [[Datei:Meteor.jpg|400px]]
| | '''Autoren:''' Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber |
| | {{Fortsetzung|weiter=Einstieg|weiterlink=Einführung in die Differentialrechnung/Einstieg}} |
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| In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
| | [[Kategorie:Differentialrechnung]] |
| | | [[Kategorie:Mathematik-digital]] |
| Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden:
| | [[Kategorie:Mathematik]] |
| <math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0<=x<=300</math>
| | [[Kategorie:Sekundarstufe 2]] |
| | | [[Kategorie:Lernpfad]] |
| ''Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin''
| | [[Kategorie:Analysis]] |
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| Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
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| == Durchschnittliche Änderungsrate ==
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| ===== Blumenvase =====
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| <ggb_applet width="1355" height="606" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?<br>
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| ...
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| == Sekantensteigung ==
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| ===== Barringer-Krater =====
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| Die Steigung der Sekante durch die Punkte A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden.
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| Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind:
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| x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub> und f(x<sub>1</sub>)-f(x<sub>0</sub>)
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| ''Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)''
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| <br><br>
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| }}
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| <br><br>
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| Im nachfolgenden Applet kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
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| <ggb_applet width="443" height="548" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| Beschreiben Sie, was passiert, wenn Sie den Punkt B immer mehr dem Punkt A annähern.
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| Die Sekante nähert sich immer mehr der Tangente an. Erläuterung des Begriffs Tangente.
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| }}
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| Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x2 gezeichnet.
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| Aufgabe:
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| * Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1|1) und B(2|4) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
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| * Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1|1) und C(1,5|2,25) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
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| * Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Grphen im Punkt A(1|1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
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| Aufgabe:
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| * Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte x<sub>0</sub>=1 und x<sub>1</sub>=2 mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
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| * Näheren Sie nun die Steigung der Tangeten im Punkt A(1|1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sbu>0</sub>=1 liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergbnis aus der vorherigen Aufgabe.
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| Die Idee bei der Annäherung der Tangentensteigung durch Sekantensteigungen ist es, den Wert x<sub>1</sub> immer mehr x<sbu>0</sub> anzunähern. Dann gibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.
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| Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sbu>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
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| Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, x<sub>0</sub>+h, f(x<sub>0</sub>+h)
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| f(x<sub>0</sub>+h)-f(x<sub>0</sub>) zu finden sind.
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| <ggb_applet width="443" height="548" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| }}
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| Aufgabe:
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| * Berechnen Sie für h=0,1 (h=0,01 und h=0,001) die Steigung der Sekantensteigung für x<sub>0</sub>=1 und x<sub>1</sub>=1+h. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=\frac{1}{10^n}</math> mit n=1, 2, 3,...) ''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.''
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| * Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1|1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben.
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| Aufgabe:
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| * ''das gleiche mit einer anderen Funktion''
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| * ''irgendwas zur zeitlichen und inhaltlichen Differenzierung''
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| == Differenzenquotient ==
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| Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase
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| Plenumsphase?
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| Möglicher Inhalt:
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| Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
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| == Differentialquotient ==
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten
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| Differentialquotient <math> f'(x_0) = lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>)
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| * beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt,
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| * beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
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| <ggb_applet width="443" height="548" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| <br>
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| Schreibe die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.
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| Verschiebe im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachte den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen in deinem Heft.
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| Andere Schreibweise:
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| Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen.
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| Ersetze in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| <math> f'(x_0)=lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
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| <br>
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| Vergleiche die beiden Applets und untersuche die Veränderungen.
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| }}
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| Bearbeite nun folgende Aufgaben:
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| [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung1] | |
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| [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2] | |
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| <br>
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| Reflexiosaufgabe/Zusammenfassung: was habe ich gelernt? o.ä.
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| == Ableitungsfunktion ==
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| [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Ableitungsfunktion] | |
| ''Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.''
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| Kontext plus Übung
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| ''Diagnoseinstrument''
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