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| Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. | | Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. |
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| <small>Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.</small>
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| [[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]] | | [[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]] |
| |3=Lernpfad}} | | |3=Lernpfad}} |
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| {{Einführung in die Differentialrechnung}} | | {{Einführung in die Differentialrechnung}} |
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| | | Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben. |
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| == Der Differentialquotient ==
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| Sie haben für diesen Abschnitt 15 Minuten Zeit.
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| {{Box|1=Merke|2=
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:
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| Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
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| |3=Merksatz}}
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>)
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| * beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt,
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| * beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
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| <br>
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| Im [https://www.geogebra.org/m/mQSKUdzQ Applet ]
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| können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.
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| '''Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft.'''
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| {{Box|1=Aufgabe 12|2=
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| Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.|3=Arbeitsmethode}}
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| '''Testen'''
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| Sie sollten nach dem Test sagen können:
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| Ich kann die Bedeutung von Differenzenquotienten und des Differentialquotienten erklären.
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| Ich kann erklären, wie man mit Hilfe von Differenzenquotienten den Differentialquotienten annähern kann.
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| <div class="zuordnungs-quiz">
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| Ordnen Sie die Ausdrücke unten den richtigen Oberbegriffen zu.
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| {|
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| | Differenzenquotient || Sekantensteigung || Durchschnittsgeschwindigkeit || mittlere Änderungsrate || <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>|| <math>\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math>
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| |-
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| | Differentialquotient || Tangentensteigung || Momentangeschwindigkeit || <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} </math> || momentane Änderungsrate
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| |}
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| </div>
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| Wenn Sie mehr als zwei falsche Zuordnungen gemacht haben, sollten Sie vor der Weiterarbeit noch einmal die Definitionen und Zusammenhänge der Begriffe wiederholen.
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| == Die Ableitungsfunktion ==
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| Für diesen Abschnitt haben Sie 20 Minuten Zeit.
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| Man kann nun zu jedem x-Wert den Differentialquotienten f'(x) bestimmen.
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| Ordnet man jedem x -Wert den zugehörigen Wert der Ableitung f'(x) zu, so erhält man eine neue Funktion, die '''Ableitungsfunktion f' '''.
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| Sie sollten nach der Aufgaben sagen können:
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| Ich kann den Graphen der Ableitungsfunktion skizzieren, wenn der Graph der Funktion gegeben ist.
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| {{Box|1=Aufgabe 13|2=
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| a) Auf dem ausliegenden [[Media:Graphische Bestimmung der Ableitungsfunktion.pdf|Arbeitsblatt]] ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x<sup>2</sup> gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Legen Sie nun eine Tabelle an, in der Sie die x-Werte und die zugehörigen Werte der Tangentensteigung eintragen. Die Werte dieser Tabellen übertragen Sie in ein neues Koordinatensystem; dies ist der Graph der Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.
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| <br>
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| b) Auf der zweiten Seite des ausliegenden [[Media:Graphische Bestimmung der Ableitungsfunktion.pdf|Arbeitsblatt]] ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x<sup>3</sup> gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Zeichnen Sie nun in einem neuen Koordinatensystem den Graphen der Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.
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| <br>
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| c) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Gruppe.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| '''Hausaufgaben:'''
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| * Seite 132/1, Seite 132/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
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| * Seite 50/1, Seite 50/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
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| * Seite 52/2, 52/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
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| '''Übungen für Fortgeschrittene:'''
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| * Seite 132/2 (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
| |
| * Seite 50/2 (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
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| * Seite 52/5, 52/6 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
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| <br>
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| == Die h-Schreibweise ==
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| Für diesen Abschnitt haben Sie 90 Minuten Zeit.
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| Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir in diesem Abschnitt noch eine andere Schreibweise für den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten.
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| <br><br>
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| === Die h-Schreibweise des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten ===
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| Anstatt beim Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 14|2=
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| a) Überlegen Sie, wo in der folgenden '''[https://www.geogebra.org/m/aSYZe7F2 Zeichnung]''' die Größen <math>h</math>, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>, <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> zu finden sind.<br>
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| b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt A(x<sub>0</sub><nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)) und den Punkt B(x<sub>0</sub>+h<nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>+h)) gehen soll.<br>
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| c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h<nowiki>=</nowiki> 0 setzen würde.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Vollziehen Sie im [https://www.geogebra.org/m/KvWKDuKN Applet] den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?
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| Sekantensteigung: <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| Wenn man h<nowiki>=</nowiki> 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 15|2=
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| Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
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| Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Sie können hierzu die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners verwenden; schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)
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| Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus den Aufgaben 9 und 10.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
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| Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
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| <br>
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| {{{!}} class="wikitable center"
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| !'''n''' !! '''h''' !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
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| {{!}}-
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| {{!}} 0 {{!}}{{!}} 1 {{!}}{{!}} 2 {{!}}{{!}} 3
| |
| {{!}}-
| |
| {{!}} 1 {{!}}{{!}} 0,1 {{!}}{{!}} 1,1 {{!}}{{!}} 2,1
| |
| {{!}}-
| |
| {{!}} 2 {{!}}{{!}} 0,01 {{!}}{{!}} 1,01 {{!}}{{!}} 2,01
| |
| {{!}}-
| |
| {{!}} 3 {{!}}{{!}} 0,001 {{!}}{{!}} 1,001 {{!}}{{!}} 2,001
| |
| {{!}}-
| |
| {{!}} 4 {{!}}{{!}} 0,0001 {{!}}{{!}} 1,0001 {{!}}{{!}} 2,0001
| |
| {{!}}-
| |
| {{!}} 5 {{!}}{{!}} 0,00001 {{!}}{{!}} 1,00001 {{!}}{{!}} 2,00001
| |
| {{!}}}
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 16|2=
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| Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math> f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| === Die Berechnung von Ableitungen ===
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| Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x<sub>0</sub>) einer Funktion f an einer Stelle x<sub>0</sub> berechnen.
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| {{Box|1=Aufgabe 17|2=
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| Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben. Schreiben Sie die Rechnungen auch in Ihr Heft.
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung 1]
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2]
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1='''Beispielaufgabe'''|2=
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| Betrachtet wird die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).
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| <br>
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| * Die Ableitung an der Stelle x<nowiki>=</nowiki>100 wird wie folgt berechnet:
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| {{Lösung versteckt|1=
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| :<math>f'(100)= \lim_{h\to 0} \frac{f(100+h)-f(100)}{h}</math><br>
| |
| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100+h)^2-0,002 \cdot 100^2}{h}</math><br>
| |
| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100^2+2 \cdot 100h+h^2-100^2)}{h}</math> <br>
| |
| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot 100h+h^2)}{h}</math> <br>
| |
| :::<math>= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot 100+h \right)=0,004 \cdot 100 = 0,4</math><br>
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| }}
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| * Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x<nowiki>=</nowiki>x<sub>0</sub> bestimmen:
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| {{Lösung versteckt|1=
| |
| :<math>f'(x_0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math><br>
| |
| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0+h)^2-0,002 \cdot x_0^2}{h}</math><br>
| |
| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0^2+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2-x_0^2)}{h}</math> <br>
| |
| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot x_0 \cdot h+h^2)}{h}</math> <br>
| |
| :::<math>= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot x_0+h \right)=0,004 \cdot x_0</math><br>
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 18|2=
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| # Bestimmen Sie mit Hilfe des [https://www.geogebra.org/m/ZCh8hVMX Applets], wie weit das Fahrzeug im Barringer-Krater kommt.
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| # Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Fahrzeug kommt.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1=Differenzieren|2=
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| Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>t<sub>0</sub>.
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 19|2=
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| # Variieren Sie die Stelle x<sub>0</sub> im [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Applet] und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
| |
| # Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br><br>
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| {{Box|1=Merke|2=
| |
| Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x<sub>0</sub> ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man die '''Funktion f´(x)''', die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte '''Ableitungsfunktion'''.<br>
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| Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.
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| |3=Merksatz}}
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| <br>
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| '''Hausaufgabe:'''
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| Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=3x<sup>2</sup>+1 an der Stelle x=2 und an der Stelle x<sub>0</sub>.
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| <br>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| f'(2)=12 und f'(x<sub>0</sub>)=6x<sub>0</sub>
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| }}
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| <br>
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| ===Üben und Vertiefen===
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| Bearbeiten Sie zwei der drei Aufgaben. Die Anzahl der * gibt den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben an.
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| {{Box|1= Aufgabe 20 *|2=
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| * Seite 133/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
| |
| * Seite 51/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
| |
| * Seite 48/3b (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 21 **|2=
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| * Seite 133/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
| |
| * Seite 51/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
| |
| * Seite 52/4 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 22 ***|2=
| |
| * Seite 133/5a (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
| |
| * Seite 51/5a (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
| |
| * Seite 48/10 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| '''Testen'''
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| Sie sollten nach dem Test sagen können:
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| Ich kann die Ableitungsfunktionen für quadratische Funktionen und kubische Funktionen mit Hilfe des Grenzprozesses des Übergangs vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten berechnen.
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| | |
| ''Aus technischen Gründen werden in den Aufgaben an manchen Stellen eckige Klammern verwendet statt der sonst in diesem Zusammenhang üblichen runden Klammern.''
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| <div class="zuordnungs-quiz">
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| 1) Ordnen Sie die Formeln richtig den Oberbegriffen zu.
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| {|
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| | Differenz der x-Werte || <math>\Delta x</math> || <math>x_1-x_0</math> || h
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| |-
| |
| | Differenz der Funktionswerte || <math>\Delta y</math> || <math>f(x_1)-f(x_0)</math> || <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math>
| |
| |}
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| </div>
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| <br>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| 2a)
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| Welchen Wert hat h für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x<sub>0</sub>=1 und x<sub>1</sub>=1,1? (!1) (0,1) (!2) (!1,1) (!3) (!0,01) (!2,1)
| |
| | |
| 2b)
| |
| Welchen Wert hat <math>f(x_0+h)</math> für die Funktion f(x)=x² im Intervall für x<sub>0</sub>=2 und h=0,1? (!2) (!4) (!1) (!0,01) (4,41) (!4,1) (!2,1) (!0,1) (!4,01)
| |
| | |
| 2c) Was gibt h in der Formel <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> an?
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| (!Um wie viele Einheiten sich der Funktionswert zwischen den Stellen x<sub>0</sub> und x<sub>0</sub>+h verändert.)(!Die Differenz der Funktionswerte.) (Die Differenz der x-Werte.) (!Die Steigung.)
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| | |
| 2d) Wir betrachten die Funktion f[x]=0,2x³+x. Mit welcher Berechnung kann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 am besten angenähert werden? (<math>\frac{f[2,0001]-f[2]}{0,0001}</math>) (!<math>\frac{0,0001}{f[2,0001]-f[2]}</math>) (!<math>\frac{f[2,001]-f[2]}{0,001}</math>)(!<math>\frac{0,001}{f[2,001]-f[2]}</math>) (!<math>\frac{f[2,01]-f[2]}{0,01}</math>)(!<math>\frac{0,01}{f[2,01]-f[2]}</math>)
| |
| | |
| </div>
| |
| Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.
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| | |
| | |
| == Zum Abschluss ==
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| Betrachten Sie noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben und bearbeiten Sie schriftlich folgende Fragen:
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| * Was waren die Problemstellungen?
| |
| * Was waren die ersten Lösungsansätze?
| |
| * Wie sieht die mathematische Lösung aus?
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| | |
| | |
| <br>
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| '''Testen'''
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| Schätzen Sie Ihren aktuellen Lernstand anhand des ausliegenden [[Media:Selbsteinschätzungsbogen Differentialrechnung.pdf|Selbsteinschätzungsbogen]] ein.
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| <br>
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| <br>
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| '''Autoren:''' Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber | | '''Autoren:''' Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber |
| | {{Fortsetzung|weiter=Einstieg|weiterlink=Einführung in die Differentialrechnung/Einstieg}} |
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| {{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
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| [[Kategorie:Differentialrechnung]] | | [[Kategorie:Differentialrechnung]] |
| [[Kategorie:Differenzialrechnung]]
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| [[Kategorie:Mathematik-digital]] | | [[Kategorie:Mathematik-digital]] |
| [[Kategorie:ZUM.de/News]] | | [[Kategorie:Mathematik]] |
| [[Kategorie:ZUM2Edutags]]<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital/Einführung in die Differentialrechnung,Mathematik-digital,Einführung in die Differentialrechnung,Mathematik,Einführung,Differentialrechnung,Lernpfad</metakeywords> | | [[Kategorie:Sekundarstufe 2]] |
| [[Kategorie:Koffer gepackt]] | | [[Kategorie:Lernpfad]] |
| | [[Kategorie:Analysis]] |
