Lernpfad Lineare Funktionen

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Kapitelübersicht

1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x) =1,5x -4$ f und der Punkt $P(4|2)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.

1. $f(4) =1,5\cdot 4 -4$
   $2 =6 -4$    Die Funktion f liefert für den x-Wert $x = 4$ den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.
2. Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0|-4)$
   Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
   $1,5x -4 = 0$ $\Leftrightarrow 1,5x = 4$ $\Leftrightarrow x = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ $= 2,6666...$ $= 2,\overline{6}$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: $(2,\overline{6} | 0)$
3. Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor $m=1,5$ wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt $b=0$:    $g(x) =1,5 x$

2. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade $f(x) = x +1$ und der Punkt $P(-2|-0,5)$.

1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt P geht.

1. $f(-2) = -2 +1 = -1$ Der Punkt $P(-2|-0,5)$ liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
2. Schnittpunkt mit y-Achse: $(0|1)$
   Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle):
   $x +1 = 0$ $\Leftrightarrow x = -1$     Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet $(-1| 0)$
3. Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor $m=1$, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b:
   $g(x) = x + b$
   $g(-2) = -2 + b = -0,5 \Rightarrow b= 1,5$
   Die Gerade g hat die Gleichung $g(x) =x +1,5$

3. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte $P(2|3)$ und $Q(3|5)$ geht.

Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ geht:
$\boldsymbol{m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P}}$

$x_P=2$ und $x_Q=3$   $\; \Rightarrow \Delta x = x_Q - x_P = 3 - 2 = 1$

$y_P=3$ und $y_Q=5$   $\; \Rightarrow \Delta y = y_Q - y_P = 5 -3 = 2$

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{1} = 2$

Zwischenergebnis: $f(x) =2 x + b$

Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von $P(2|3)$:

    $f(2) = 2 \cdot 2 + b$
$\Leftrightarrow 3 = 4 + b$
$\Leftrightarrow b= -1$

Ergebnis: $f(x) = 2x -1$

Die Lösungen können auch mit den beiden folgenden GeoGebra-Applets überprüft werden:

GeoGebra-Applet für lineare Funktion $f(x) =m\;x + b$

GeoGebra-Applet für lineare Funktion $f(x) =m\;x + b$ durch die Punkte $P$ und $Q$