Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden

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Lernschritt Parabeln und Geraden

1. Aufgabe -Schnittpunkte von Parabel und Gerade

QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel $g(x) =x^2 -4x$ und Gerade $h(x) =2x -5$

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel $f(x) =x^2 -6x +5$

In der Abbildung QF08 Abbildung 1 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $h(x) =2x -5$ (als gestrichelte Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen in den Punkten $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$ schneiden.

1. Bestimme die Schnittpunkte beider Graphen rechnerisch.
2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +5$ (QF05 Abbildung 1)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = h(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -5$ | $-2x +5$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +5 = 0$ | pq-Formel anwenden
$\Rightarrow x_1 = 1$ und $x_2 = 5$
Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung $h(x)$, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in $g(x)$ zur Kontrolle):
$h(1) = 2 \cdot 1 -5 = -3$
$g(1) = 1^2 -4\cdot 1 = -3$ (nur zur Kontrolle)
$h(5) = 2 \cdot 5 -5 = 5$
$g(5) = 5^2 -4\cdot 5 = 5$ (nur zur Kontrolle)
Schnittpunkte von $g$ und $h$: $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$

2.
Die Berechnung der Schnittpunkte von $g$ und $h$ führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von $f(x) =x^2 -6x +5$ zu lösen ist. Die Schnittstellen von $g$ und $h$ sind also die Nullstellen der Parabel $f$.

2. Aufgabe -Schnittpunkt von Parabel und Tangente

QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf
Parabel $g(x) =x^2 -4x$ und Gerade $t(x) =2x -9$

QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf
Parabel $f(x) =(x-3)^2$

In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $t(x) =2x -9$ (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt $S(3|-3)$ berühren, die Gerade $t$ also eine Tangente der Parabel ist.

1. Bestätige rechnerisch, dass es sich bei der Geraden $t$ tatsächlich um eine Tangente an die Parabel $g$ handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten $S(3|-3)$ besitzt.
2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +9$ (QF08 Abbildung 3)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = t(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -9$ | $-2x +9$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +9 = 0$ | 2. binomische Formel anwenden
$\Leftrightarrow (x-3)^2 = 0$ | (doppelte) Nullstelle ablesen
$\Rightarrow x_1 = x_2 = 3$
Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung $t(x)$, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in $g(x)$ zur Kontrolle):
$t(3) = -2 \cdot 3 -9 = - 3$
$g(3) = 3^2 -4\cdot 3 = -3$ (nur zur Kontrolle)
Berührpunkt von $g$ und $t$: $S(3|-3)$

2.
Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von $g$ und $t$ führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von $f(x) =x^2 -6x +9 = (x -3)^2$ zu lösen ist. Die Berührstelle von $g$ und $t$ ist also die (einzige) Nullstelle der Parabel $f$.