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Lernschritt Normalparabel strecken und spiegeln

• In diesem Lernschritt wird untersucht, was an der Normalparabel ändert, wenn man in ihrer Funktionsgleichung den Funktionsterm $x^2$ mit einem konstanten Faktor $a$ multipliziert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen $g(x)=2 \; x^2$, $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ genauer betrachtet.

1. Aufgabe Wertetabelle

1. Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=2 \; x^2$, $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.
2. Vergleiche die y-Werte der Funktionen $g$, $h$ und $i$ spaltenweise mit den y-Werten der Funktion $f$. Was stellst du dabei fest?

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$
$g(x)=2 \; x^2$
$h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$
$i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2$

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$	9	4	1	0	1	4	9
$g(x)=2 \; x^2$	18	8	2	0	2	8	18
$h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25
$i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2$	-2,25	-1	-0,25	0	-0,25	-1	-2,25

Die y-Werte der Funktion $g$ sind bei gleichem x-Wert doppelt so groß wie die bei der Normalparabel, die y-Werte von $h$ nur ein Viertel so groß. Die y-Werte der Funktion $i$ unterscheiden sich von denjenigen der Funktion $h$ nur durch das negative Vorzeichen.

2. Aufgabe

QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf

1. In der Abbildung "QF04 Abbildung 1" sind vier Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet, einer als Strich-Punkt- und einer als durchgezogene Linie. Ordne diese Graphen den Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=2 \; x^2$, $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ zu und begründe deine Zuordnung.
2. Beschreibe, durch welche graphische Operation die Graphen von $g$, $h$ und $i$ jweils aus der Normalparabeln entstehen.

1. Die durchgezogene Linie ist eine Normalparabel, also der Graph der Funktion $f(x)=x^2$. Dies erkennt man u.a. an den Treppen-Punkten in der Tabelle.
   Die gepunktete Linie oberhalb der Normalparabel ist der Graph von $g(x)=2 \; x^2$. Dies erkennt man z.B. an den Punkten $(1|2)$ und $(-1|2)$, die auf diesem Graphen liegn.
   Die gestrichelte Linie ist der Graph der Funktion $h$, leicht zu identifizieren mithilfe der Punkte $(2|1)$ und $(-2|1)$.
   Die Strich-Punkt-Linie verläuft vollständig unterhalt der x-Achse und gehört daher zu der Funktion $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$, bei der alle y-Koordinaten negativ sind.
2. Der Graph der Funktion $g(x)=2 \; x^2$ entsteht, indem man die Normalparabel in y-Richtung um den Faktor 2 streckt, der Graph von $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$, indem man sie um den Faktor $\frac{1}{4}$ in y-Richtung staucht. Den Graphen von $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$, erhält man, wenn man den Graphen von $h$ an der x-Achse spiegelt, also durch eine Stauchung und x-Achsenspiegelung der Normalparabel.

3. Aufgabe $f_1(x)=x^2$ und $f_{-1}(x)=-x^2$

Vervollständige die folgende Wertetabelle. Welche geometrische Operation überführt den Graphen von $f_1(x)=x^2$ (mit $a = 1$) in den Graphen von $f_{-1}(x)=-x^2$ (mit $a = -1$)?

Tabelle 2

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f_1(x)=x^2$	9	4	1	0	1	4	9
$f_{-1}(x)=-x^2$

Tabelle 2

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f_1(x)=x^2$	9	4	1	0	1	4	9
$f_{-1}(x)=-x^2$	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

Wenn man den Graphen von $f_1(x)=x^2$ (mit $a = 1$) an der x-Achse spiegelt, erhält man den Graphen von $f_{-1}(x)=-x^2$ (mit $a = -1$) - und umgekehrt.

4. Aufgabe $f_a(x) =a\;x^2$

Bisher wurden einzelne Beispiele aus der Funktionenschar $f_a(x) =a\; x^2$ betrachtet. Jetzt soll ganz allgemein untersucht werden, welchen Einfluss der Parameter $a \in \mathbb{R}$ auf den Graphen der Funktion $f_a(x) =a\; x^2$ hat.

1. Welche gemeinsamen Eigenschaften haben alle Graphen der Funktion $f_a(x) =a\; x^2$, wenn der Parameter $a$ eine positive Zahl ist ($a>0$)? Welche gemeinsamen Eigenschaften haben die Graphen, wenn $a$ negativ ist ($a<0$)?
2. Welche geometrische Operation wird mit dem Graphen von $f_a$ durchgeführt, wenn sich beim Parameter $a$ nur das Vorzeichen ändert? Wenn man diese geometrische Operation auf den veränderten Graphen noch einmal anwendet, landet man wieder beim ursprünglichen Graph. Wie lässt sich das auch rechnerisch erklären?
3. Wie verlaufen die Graphen der Funktionen $f_a(x) =a\; x^2$ für alle Parameter $a$ mit der Eigenschaft $0 < a < 1$ (d.h. $a$ ist ein positiver, echter Bruch) im Vergleich zu den Graphen dieser Schar, bei denen $a > 1$ ist?
4. Beschreibe anschaulich, wie sich der Graph von $f_a$ verändert, wenn man von dem Wert $a = 4$ ausgehend den Parameter $a$ allmählich immer kleiner werden lässt, bis er schließlich sehr dicht über dem Wert 0 landet (z.B. bei dem Wert 0,001). Was passiert, wenn man diese Bewegung über den Wert $a = 0$ hinaus weiter fortsetzt (für $a < 0$)?
5. Was ist an dem Fall $a = 0$ besonders?

Die Lösungen zu dieser Aufgabe findest du in der folgenden Zusammenfassung.

In dem GeoGebra-Applet ändert sich die Form der Parabel mit der Funktionsgleichung $f_a(x) =a^2$, wenn man die Position des Schiebereglers $a$ verändert.

Zusammenfassung $f_a(x) =a\;x^2$

Streckung der Normalparabel in y-Richtung Der Graph der Funktion $f_a(x) =a\;x^2$ ist für jede Zahl $a \in \mathbb{R}, a \not= 0$ eine um den Streckfaktor $a$ in y-Richtung gestreckte Normalparabel.

Insbesondere gilt:

1. Wenn der Parameter $a$ eine positive Zahl ist ($a>0$), verlaufen alle Parabeln der Schar $f_a(x) =a\; x^2$ oberhalb der x-Achse und sind nach oben geöffnet. Bei negativemn $a$ verlaufen sie unterhalb der x-Achse und sind nach unten geöffnet.
2. Wenn sich beim Parameter $a$ nur das Vorzeichen ändert, dann bedeutet das, dass der Graph von $f_a(x) =a\;x^2$ an der x-Achse gespiegelt wird. Wenn man eine Achsenspiegelung noch einmal auf das schon gespiegelte Objekt anwendet, erhält man wieder das ursprüngliche Objekt. Im vorliegenden Fall entspricht dies der rechnerischen Regel: Wenn man bei einer Zahl $a$ das Vorzeichen wechselt und dies anschließend noch einmal wiederholt, erhält man als Ergebnis wieder die Ausgangszahl $a$.
3. Die Graphen der Funktionen $f_a(x) =a\; x^2$ verlaufen für alle Parameter $a$ mit der Eigenschaft $0 < a < 1$ oberhalb der x-Achse, aber unterhalb der Normalparabel. Demgegenüber verlaufen die Graphen derjenigen Funktionen, bei denen $a > 1$ ist, oberhalb der Normalparabel. Je größer $a$ ist, desto gestreckter (in y-Richtung) verläuft der Graph von $f_a$. Für große $a$ nähern sich die Parabelarme immer mehr der y-Achse, für $a$-Werte dicht bei 0 schmiegen sie sich immer stärker an die x-Achse an.
4. Wenn man von dem Wert $a = 4$ ausgehend den Parameter $a$ allmählich immer kleiner werden lässt, dann werden die Parabelarme immer stärker "nach unten auseinandergedrückt", also in y-Richtung gestaucht. Wenn $a$ einen Wert sehr dicht über dem Wert 0 annimmt, verlaufen die Parabelarme sehr flach, also fast auf der x-Achse. wenn man diese Bewegung über den Wert $a = 0$ hinaus weiter fortsetzt (für $a < 0$), entfernen sich die Parabelarme unterhalb der x-Achse wieder von der x-Achse und nähern sich im weiteren Verlauf für betragsmäßig große, negative $a$-Werte unterhalb der x-Achse erneut der y-Achse.
5. Im $a = 0$ ist der Graph der Funktion $f_a(x) =a\; x^2$ die x-Achse, also eine Gerade und damit streng genommen keine Parabel.

$a > 1$: Die Normalparabel wird in y-Richtung "nach oben" gestreckt, verläuft also oberhalb der Normalparabel.
Anmerkung: Die graphische Veränderung, die bei dieser Streckung entsteht, kann man auch als eine "Stauchung" in x-Richtung betrachten, da die beiden Äste der Parabel zur y-Achse hin "gedrückt" werden. Wir beschränken uns hier auf die Sichtweise einer Streckung in y-Richtung.

1. $a = 1$ Dies ist die Gleichung der Normalparabel.
2. $0 < a < 1$ Die Parabel ist immer noch nach oben geöffnet, verläuft nun aber unterhalb der Normalparabel. Sie ist dieser gegenüber in y-Richtung "gestaucht". In der Mathematik spricht man auch in diesem Fall von einer "Streckung". Der Streckfaktor ist hier ein positiver, echter Bruch, der alle y-Koordinaten entsprechend verkleinert.
3. $a = 0$ In diesem Fall ist der Graph eine Gerade, nämlich die x-Achse.
4. $-1 < a < 0$ Die Normalparabel wird hier in gleichem Maße gestaucht wie im 3. Fall. Allerdings ist sie nun nach unten geöffnet und verläuft vollständig unterhalb der x-Achse.
5. $a = -1$ Der Graph ist eine nach unten geöffnete, an der x-Achse gespiegelte Normalparabel.
6. $a < -1$ Der Graph ist eine in y-Richtung gestreckte, nach unten geöffnete Normalparabel. Anders ausgedrückt: Die Normalparabel wurde erst an der x-Achse gespiegelt und dann um den Streckfaktor $a$ in y-Richtung gestreckt.

• Der Scheitelpunkt aller Parabeln mit der Funktionsgleichung $f(x) =a\;x^2$ mit $a \in \mathbb{R}$ liegt im Koordinatenursprung $O(0|0)$.