Zylinder Pyramide Kegel/Zusatzaufgaben

Auf dieser Seite findest du zu jeder Lerneinheit (Zylinder, Satz von Cavalieri, Pyramide und Kegel) noch weitere Übungsaufgaben, mit denen du dein neu erworbenes Wissen festigen und weiter vertiefen kannst.

Die Bearbeitung der einzelnen Lerneinheiten und der darin enthaltenen Übungsaufgaben haben erste Priorität. Diese Zusatzaufgaben sind als freiwillige Übung gedacht und sollten daher außerhalb der Unterrichtszeit bearbeitet werden (außer du bist schon mit allen Lerneinheiten fertig).

Natürlich kannst du auch zu diesem Aufgaben jederzeit Fragen an deine Lehrerin stellen!

Berechnungen am Zylinder

Aufgabe 1: Schulbuch

Bearbeite in deinem Schulbuch S.20 Nr.7 und Nr.8!
Hinweise zu Nr.8: Lege eine Übersichtstabelle an, in der du jeweils die Veränderung der einzelnen Größen eintragen kannst. Begründe 4 deiner Aussagen, indem du die entsprechende Formel auf- und umstellst und mit der ursprünglichen Formel vergleichst.

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Nr.7a)
Möglichkeit 1: a=U, b=h

$\Rightarrow a=2\pi r$

$\Rightarrow r=\frac{a} {2\pi }$ $V_{1} =\pi r^{2}h=\pi \left( \frac{a} {2\pi } \right)^{2}*b =\frac{a^{2}b} {4\pi }$

Möglichkeit 2: b=U, a=h

$\Rightarrow b=2\pi r$

$\Rightarrow r=\frac{b} {2\pi }$ $V_{2} =\pi r^{2}h=\pi \left( \frac{b} {2\pi } \right)^{2}*a =\frac{b^{2}a} {4\pi }$

Nr.7b) $\frac{V_{1} } {V_{2} }=\frac{a^{2}b} {ab^{2} }=\frac{a} {b}$

Lösungen zu S.20 Nr.8

Aufgabe 2: Zylinderausschnitte

Tante Uschi hat für ihren Geburtstag eine Scharzwälderkirschtorte mit einem Durchmesser von 28cm und einer Höhe von 8cm gebacken. Die Torte kommt bei den Gästen so gut an, dass für sie selbst nur noch ein schmales Probierstück übrig bleibt, welches an der Spitze einen Winkel von 15° hat.
a) Wie viel Torte hat Tante Uschi bekommen (Volumen des Tortenstücks)?
b) Wie viel Prozent der ganzen Torte ist das?

Lösung zu Aufgabe 2

Satz von Cavalieri

Aufgabe 3

Begründe anhand eines Beispiels, dass der Satz von Cavalieri nicht für Oberflächeninhalte entsprechender Körper gilt.

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Wir betrachten zwei Quader, die die Kriterien von Cavalieri erfüllen (gleicher Grundflächeninhalt, gleiche Höhe, in gleicher Höhe gleichen Flächeninhalt der Schnittflächen). Der Grundflächeninhalt beträgt $A=12cm^{2}$ .

Der Oberflächeninhalt berechnet sich aus dem doppelten Grundflächeninhalt und dem Mantelflächeninhalt. Die Grundflächen unserer beiden Körper sind flächengleich. Wie sieht es aber mit den Mantelflächeninhalten aus?

Flächengleichheit bedeutet nicht, dass auch der Umfang gleich ist!
Im gewählten Beispiel wäre der Mantelflächeninhalt des linken Quaders $M=(2+2+6+6)cm\cdot 8 cm=16\cdot 8cm^{2}=128 cm$ und des rechten Quaders $M=(4+4+3+3)cm \cdot 8cm=14\cdot 8 cm^{2}=112cm^{2}$

Fazit: Der Satz von Cavalieri gilt nicht für den Oberflächeninhalt entsprechender Körper, da die Mantelflächen von verschiedenen Körpern nicht gleich groß sind, auch wenn Grundflächeninhalt und Höhe gleich sind!

Berechnungen an der Pyramide

Aufgabe 4

Quadratische Pyramide mit Beschriftung.jpg

Berechne Volumen, Mantelflächen- und Oberflächeninhalt einer (senkrechten) quadratischen Pyramide mit Seitenkante s = 10dm und der Höhe der Seitendreiecke h' = 80cm.

Mache zunächst eine Skizze der Pyramide und den eventuell benötigten Hilfsobjekten.

Lösung zu Aufgabe 4

Aufgabe 5

Volumenvergleich von geraden und schiefen Pyramiden

Begründe anhand der Abbildung, dass auch eine schiefe Pyramide zu einer geraden Pyramide mit gleicher Höhe und gleich großer Grundfläche volumengleich ist.

Volumenvergleich Pyramiden schief gerade.jpg

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Für zwei gerade Pyramiden mit gleicher Höhe und gleich großer Grundfläche wurde die Volumengleichheit über die zentrische Streckung nachgewiesen. Bei der schiefen Pyramide wird ebenfalls die Grundfläche (in der Abbildung die Grundlinie) auf die Schnittfläche durch eine zentrische Streckung mit der Pyramidenspitze als Streckzentrum abgebildet. Für den Streckfaktor gilt $k=\frac {s*} {s}= \frac {h*} {h}$ (Strahlensatzfigur).
Es gilt für die Flächeninhalte der Schnittflächen: $G'_{gerade P.}=k^{2}\cdot G_{gerade P.}$ und $G'_{schiefe P.}=k^{2}\cdot G_{schiefe P.}$
wegen $G_{gerade P.}=G_{schiefe P.}$
$\Rightarrow G'_{gerade P.}=G'_{schiefe P.}$

Da also die Schnittflächen der Pyramiden auf jeder Höhe parallel zur Grundfläche gleich groß sind, die Höhe und der Grundflächeninhalt gleich sind, besitzen die beiden Pyramiden das gleiche Volumen.