Quadratische Funktionen erkunden/Übungen

Parameter

Scheitelpunktform

Übung

Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 16) .

In dieser Aufgabe werden die Parameter kombiniert, die du in dem Kapitel Die Parameter der Scheitelpunktform kennengelernt hast.

Gegeben ist die Wertetabelle:

a) Zeichne die Graphen zu den Funktionen f(x), g(x) und h(x) in das Koordinatensystem in deinem Hefter. Nicht alle y-Werte können sinnvoll in den Ausschnitt, der in dem Koordinatensystem gezeigt wird, eingetragen werden. <popup name="Lösung"></popup>

b) Bestimme die Funktionsterme in Scheitelpunktform.

Lies zunächst den Scheitelpunkt ab und setze dessen Koordinaten an den passenden Stellen des allgemeinen Funktionsterms $f(x)=a(x-d)^2+e$ ein.

Ist der Graph gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt? Durch die Beantwortung dieser Frage kannst du den Wert des zugehörigen Parameters eingrenzen. Anschließend findest du den genauen Wert zum Beispiel durch systematisches Probieren und abgleichen mit den gegebenen Funktionswerten.

<popup name="Lösung"> $f(x)=1/5x^2-3.5$

$g(x)=(x+4)^2+0.5$

$h(x)=-5(x-2)^2+10$ </popup>

Übung

In diesem Applet sind verschiedene Graphen abgebildet. Ermittle die zugehörigen Funktionsterme und trage sie in die Felder unter den jeweiligen Graphen ein.

Hinweise:

1. Beginne jeden Term mit $y=$

2. Wenn du ein "hoch 2" einfügen möchtest, schreibe ^2.

Übung

Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S.17) .

Vervollständige die Tabelle:

Normalform

Übung

Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 17)

.

Zwei Parabeln sollen den gleichen y-Achsenabschnitt c haben. Gib je zwei Funktionsterme in Normalform an.

a) $c=1$ b) $c=-2,5$ c) $c=-4$ d) $c=\frac{3}{5}$ e) $c=0$

<popup name="Beispiellösung"> Deine Terme können ganz anders aussehen, als die Terme hier in den Lösungsvorschlägen. Wichtig ist, dass deine zwei Terme jeweils den gleichen y-Achsenabschnitt c wie angegeben haben. Die Parameter a und b können dann beliebig variiert werden.

a)	$y=x^2+2x+1$	b)	$y=-x^2+2x-2,5$	c)	$y=2x^2-2x-4$


	$y=2x^2+2x+1$		$y=x^2-x-2,5$		$y=2x^2-3x-4$

d)	$y=-x^2+x+\frac{3}{5}$	e)	$y=-x^2+x$


	$y=-x^2+5x+\frac{3}{5}$		$y=x^2-x$

</popup>

Übung

Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 18) und einen Partner

.

a) Denke dir drei Funktionsterme in Normalform aus. <popup name="Hilfe">Terme in Normalform quadratischer Funktionen sehen allgemein so aus: $y=ax^2+bx+c$ .

Denke dir Werte für die Parameter a, b und c aus und setze sie ein.

Beispiel: Für $a=1$ , $b=1$ und $c=-4$ erhält man: $y=1\cdot x^2+1\cdot x-4$ .</popup>

b) Gib deinem Partner deine Funktionsterme und nimm dafür seine. Zeichnet die Graphen zu den Termen. <popup name="Lösung">Zur Kontrolle kannst du das unten stehende GeoGebra-Applet benutzen.

Gib die Parameter der Funktionsterme ein und vergleiche deinen Graph mit dem Ergebnis im Applet.</popup>

c) Vergleicht eure Ergebnisse und erklärt Schritt-für-Schritt wie ihr die Graphen erstellt habt. Notiert eine gemeinsame Schritt-für-Schritt-Anleitung in euren Hefter. <popup name="Lösungsvorschlag">1. y-Achsenabschnitt P(0|c) ablesen.

2. Verschiedene x-Werte in den Term einsetzen und so die zugehörigen y-Werte bestimmen (Erstellen einer Tabelle).

3. Koordinatensystem zeichnen und Punkte eintragen.

4. Punkte zu einer Parabel verbinden.</popup>

Allgemeine Übungen

Übung

Teste dein Wissen und werde Punkte-Millionär:

Übung

Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 19) und einen Partner

.

a) Denke dir zwei Terme quadratischer Funktionen aus und notiere eine Lagebeschreibung des Graphen. <popup name="Beispiel">Die Parabel ist eine an der x-Achse gespiegelte Normalparabel. Sie ist um je eine Einheit nach rechts und nach oben verschoben. Ihr Scheitelpunkt lautet S(1|1).</popup>

b) Tausche deine Beschreibungen (nicht den Term!) mit denen deines Partners aus und bestimme seine Funktionsterme. <popup name="Beispiel">Die Lösung zu dem Beispiel in Übungsteil a) lautet: $y=(x-1)^2+1$ .</popup>

c) Kontrolliert eure Ergebnisse gegenseitig. Habt ihr die richtigen Terme gefunden? Wenn nicht, versucht gemeinsam eure Fehler aufzudecken und zu klären. <popup name="Hilfe">Schaut euch noch einmal die Merksätze auf den Parameterseiten der Normalform und der Scheitelpunktform an.</popup>

==Von der Scheitelpunkt- zur Normalform

==

Übung

Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 20)

.

Forme die folgenden Terme in Scheitelpunktform in Normalform um:

$(1)y=(x-2)^2+3$ $(4)y=(x-1,5)^2-7$ $(7)y=(x+4)^2+2$

$(2)y=-(x+5)^2+25$ $(5)y=2(x+7)^2-35$ $(8)y=-3(x-6)^2$

$(3)y=4(x-1)^2+0,5$ $(6)y=(x+0,5)^2+0,75$ $(9)y=0,5(x-2)^2-16$

Funktionsterm (1)	Schritt-für-Schritt-Anleitung	Funktionsterm (6)	Schritt-für-Schritt-Anleitung


$y=(x-2)^2+3$	Klammer auflösen	$y=(x+0,5)^2+0,75$	Klammer auflösen


$=(x-2)(x-2)+3$	Klammer ausmultiplizieren	$=(x+0,5)(x+0,5)+0,75$	Klammer ausmultiplizieren


$=x^2-2x-2x+4+3$	Zusammenfassen	$=x^2+0,5x+0,5x+0,25+0,75$	Zusammenfassen


$=x^2-4x+7$		$=x^2+x+1$

Funktionsterm (2)	Schritt-für-Schritt-Anleitung	Funktionsterm (7)	Schritt-für-Schritt-Anleitung


$y=-(x+5)^2+25$	Klammer auflösen	$y=(x+4)^2+2$	Klammer auflösen


$=-((x+5)(x+5))+25$	innere Klammer ausmultiplizieren	$=(x+4)(x+4)^2+2$	Klammer ausmultiplizieren


$=-(x^2+5x+5x+25)+25$	Klammer ausmultiplizieren	$=x^2+4x+4x+16+2$	Zusammenfassen


$=-x^2-10x-25+25$	Zusammenfassen	$=x^2+8x+18$


$=-x^2-10x$

Funktionsterm (3)	Schritt-für-Schritt-Anleitung	Funktionsterm (8)	Schritt-für-Schritt-Anleitung


$y=4(x-1)^2+0,5$	Klammer auflösen	$y=-3(x-6)^2$	Klammer auflösen


$=4((x-1)(x-1))+0,5$	innere Klammer ausmultiplizieren	$=-3((x-6)(x-6))$	innere Klammer ausmultiplizieren


$=4(x^2-x-x+1)+0,5$	Klammer ausmultiplizieren	$=-3(x^2-6x-6x+36)$	Klammer ausmultiplizieren


$=4x^2-4x-4x+4+0,5$	Zusammenfassen	$=-3x^2+18x+18x-108$	Zusammenfassen


$=4x^2-8x+4,5$		$=-3x^2+36x-108$

Funktionsterm (4)	Schritt-für-Schritt-Anleitung	Funktionsterm (9)	Schritt-für-Schritt-Anleitung


$y=(x-1,5)^2-7$	Klammer auflösen	$y=0,5(x-2)^2-16$	Klammer auflösen


$=(x-1,5)(x-1,5)-7$	Klammer ausmultiplizieren	$0,5((x-2)(x-2))-16$	innere Klammer ausmultiplizieren


$=x^2-1,5x-1,5x+2,25-7$	Zusammenfassen	$=0,5(x^2-2x-2x+4)-16$	Klammer ausmultiplizieren


$=x^2-3x-4,75$		$=0,5x^2-x-x+2-16$	Zusammenfassen


		$=0,5x^2-2x-14$

Funktionsterm (5)	Schritt-für-Schritt-Anleitung


$y=2(x+7)^2-35$	Klammer auflösen


$=2((x+7)(x+7))-35$	Klammer ausmultiplizieren


$=2(x^2+7x+7x+49)-35$	Zusammenfassen


$=2x^2+14x+14x+98-35$


$=2x^2+28x+63$

</popup>

Quadratische Funktionen anwenden

Übung

Diese Aufgabe befindet sich auch in den Kapiteln zur Scheitelpunktform und zur Normalform. Du kannst sie hier erneut als Übung verwenden, indem du die Bilder bearbeitest, die du dort ausgelassen hast.

Finde Werte für a, d und e bzw. a, b und c, so dass $f(x)$ bzw. $g(x)$ die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt.

<popup name="Lösungsvorschläge"> Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

Scheitelpunktform:

Hintergrundbild	Lösungsvorschlag	Parameter a	Parameter d	Parameter e
Angry Birds	$f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85$	-0.15 ≤ a ≤ -0.13	6.80 ≤ d ≤ 7.20	4.70 ≤ e ≤ 5.00
Golden Gate Bridge	$f(x)=0.04(x-5.7)^2+1$	0.03 ≤ a ≤ 0.05	5.00 ≤ d ≤ 6.40	0.80 ≤ e ≤ 1.10
Springbrunnen	$f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3$	-0.40 ≤ a ≤ -0.30	4.70 ≤ d ≤ 5.00	5.10 ≤ e ≤ 5.50
Elbphilharmonie (Bogen links)	$f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35$	0.33 ≤ a ≤ 0.47	2.40 ≤ d ≤ 2.60	4.25 ≤ e ≤ 4.40
Elbphilharmonie (Bogen mitte)	$f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4$	0.30 ≤ a ≤ 0.36	5.70 ≤ d ≤ 6.00	3.20 ≤ e ≤ 3.60
Elbphilharmonie (Bogen rechts)	$f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60$	0.18 ≤ a ≤ 0.27	9.30 ≤ d ≤ 9.50	3.55 ≤ e ≤ 3.65
Gebirgsformation	$f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3$	-0.30 ≤ a ≤ -0.10	5.10 ≤ d ≤ 5.70	2.10 ≤ e ≤ 2.50
Motorrad-Stunt	$f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95$	-0.10 ≤ a ≤ -0.04	7.30 ≤ d ≤ 8.10	5.70 ≤ e ≤ 6.20
Basketball	$f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45$	-0.35 ≤ a ≤ -0.29	6.20 ≤ d ≤ 6.80	6.20 ≤ e ≤ 6.70

Normalform:

Hintergrundbild	Lösungsvorschlag	Parameter a	Parameter b	Parameter c
Angry Birds	$f(x)=-0.13x^2+1.82x-1.52$	-0.14 ≤ a ≤ -0.13	1.82 ≤ b ≤ 1.95	-1.85 ≤ c ≤ -1.52
Golden Gate Bridge	$f(x)=0.04x^2-0.46x+2.30$	0.03 ≤ a ≤ 0.05	-0.40 ≤ b ≤ -0.50	2.05 ≤ c ≤ 2.30
Springbrunnen	$f(x)=-0.33x^2+3.20x-2.46$	-0.40 ≤ a ≤ -0.30	3.15 ≤ b ≤ 3.35	-2.95 ≤ c ≤ -2.45
Elbphilharmonie (Bogen links)	$f(x)=0.40x^2-2.00x+6.85$	0.33 ≤ a ≤ 0.47	1.80 ≤ b ≤ 2.00	6.35 ≤ c ≤ 6.85
Elbphilharmonie (Bogen mitte)	$f(x)=0.33x^2-3.86x+14.69$	0.30 ≤ a ≤ 0.36	-4.10 ≤ b ≤ -3.60	13.65 ≤ c ≤ 14.95
Elbphilharmonie (Bogen rechts)	$f(x)=0.22x^2-4.14x+23.04$	0.18 ≤ a ≤ 0.27	-3.40 ≤ b ≤ -5.05	19.70 ≤ c ≤ 27.20
Gebirgsformation	$f(x)=-0.2x^2+2.16x-3.53$	-0.30 ≤ a ≤ -0.15	1.55 ≤ b ≤ 3.30	-6.35 ≤ c ≤ -1.70
Motorrad-Stunt	$f(x)=-0.07x^2+1.08x+1.79$	-0.10 ≤ a ≤ -0.04	0.85 ≤ b ≤ 1.30	0.95 ≤ c ≤ 1.79
Basketball	$f(x)=-0.32x^2+4.16x-7.07$	-0.35 ≤ a ≤ -0.29	3.80 ≤ b ≤ 4.40	-7.40 ≤ c ≤ -6.10

</popup>

Übung

Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 21) .

<popup name="Lösung">a) $A(2)=2 \cdot (20-2)=2 \cdot 18=36$ , $A(4)=4 \cdot (20-4)=4 \cdot 16=64$ , $A(10)=10 \cdot (20-10)=10 \cdot 10=100$

Für x = 2 m beträgt der Flächeninhalt der Terrasse 36 m². Ist die Seitenlänge x = 4 m, dann beträgt der Flächeninhalt der Terrasse 64 m². Bei einer Seitenlänge von x = 10 m beträgt der Flächeninhalt 100 m².

Hinweis: Hier kannst du auch andere Werte x eingesetzt haben. Um eine sinnvolle Lösung zu erhalten darf x weder kleiner 0 m noch größer als 20 m sein. In den Fällen würdest du einen negativen Flächeninhalt erhalten.

b) $A(x)=x \cdot (20-x)$

Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: $A=a \cdot b$ , wobei a und b die Seitenlängen des Rechtecks beschreiben. Für die Terrasse gilt: $a=x$ und $b=20-x$ .</popup>