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Lernschritt Normalparabel strecken und spiegeln

In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verändert wird, wenn man in ihrem Funktionsterm $x^2$ mit einem konstanten Faktor $a$ multipliziert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen $g(x)=2 \; x^2$ , $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ genauer betrachtet.

1. Aufgabe Wertetabelle

Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen $f(x)=x^2$ , $g(x)=2 \; x^2$ , $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.
Vergleiche die y-Werte der Funktionen $g$ , $h$ und $i$ spaltenweise mit den y-Werten der Funktion $f$ . Was stellst du dabei fest?

**Tabelle 1**
$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$
$g(x)=2 \; x^2$
$h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$
$i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2$

**Tabelle 1**
$x$	-3	-2	-1	1	2	3
$f(x)=x^2$	9	4	1	1	4	9
$g(x)=2 \; x^2$	18	8	2	2	8	18
$h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$	2,25	1	0,25	0,25	1	2,25
$i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2$	-2,25	-1	-0,25	-0,25	-1	-2,25

Die y-Werte der Funktion

g

sind bei gleichem x-Wert doppelt so groß wie die bei der Normalparabel, die y-Werte nur ein Viertel so groß. Die y-Werte der Funktion

i

unterscheiden sich von denjenigen der Funktion

h

nur durch das negative Vorzeichen.

2. Aufgabe

QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf

In der Abbildung "QF04 Abbildung 1" sind vier Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet, einer als Strich-Punkt- und einer als durchgezogene Linie. Ordne diese Graphen den Funktionen $f(x)=x^2$ , $g(x)=2 \; x^2$ , $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ zu und begründe deine Zuordnung.
Beschreibe, durch welche graphische Operation die Graphen von $g$ , $h$ und $i$ jweils aus der Normalparabeln entstehen.

Die durchgezogene Linie ist eine Normalparabel, also der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ . Dies erkennt man u.a. an den Treppen-Punkten in der Tabelle.
Die gepunktete Linie oberhalb der Normalparabel ist der Graph von $g(x)=2 \; x^2$ . Dies erkennt man z.B. an den Punkten $(1|2)$ und $(-1|2)$ , die auf diesem Graphen liegn.
Die gestrichelte Linie ist der Graph der Funktion $h$ , leicht zu identifizieren mithilfe der Punkte $(2|1)$ und $(-2|1)$ .
Die Strich-Punkt-Linie verläuft vollständig unterhalt der x-Achse und gehört daher zu der Funktion $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ , bei der alle y-Koordinaten negativ sind.
Der Graph der Funktion $g(x)=2 \; x^2$ entsteht, indem man die Normalparabel in y-Richtung um den Faktor 2 streckt, der Graph von $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ , indem man sie um den Faktor $\frac{1}{4}$ in y-Richtung staucht. Den Graphen von $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ , erhält man, wenn man den Graphen von $h$ an der x-Achse spiegelt, also durch eine Stauchung und x-Achsenspiegelung der Normalparabel.

3. Aufgabe

f(x) =a\;x^2

Beschreibe mit eigenen Worten, welchen Einfluss der Parameter $a \in \mathbb{R}$ auf den Graphen der Funktion $f(x) =a\; x^2$ hat. Unterscheide dabei folgende Fälle: