Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel

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Lernpfad Normalparabel

Was du in diesem Lernpfad lernen kannst ...

Funktionenmaschine

Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: $5^2 = 5\cdot 5 = 25$. Man kann die Arbeitsweise der Quadriermaschine sehr einfach mithilfe einer Rechenvorschrift beschreiben: $y = x^2$. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: $f(x) = x^2$. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "$f$") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: $f(5) = 5^2$.

Funktion als "eindeutige Zuordnung"

Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert $x=3$ in die Funktion $f(x) =x^2$, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert $y=9$.
Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein. So ist z.B. der y-Wert $y=9$ der Funktionswert sowohl von $x=-3$ als auch von $x=3$, denn $f(-3)=(-3)^2 = 9$ ("Minus mal minus ergibt plus.") und $f(3) = 3^2 = 9$.

Einige Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen

Argument $x$

x-Wert, input der Funktion

Funktionswert $f(x)$

y-Wert, output der Funktion

Funktionsterm $x^2$

Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte

Funktionsgleichung $f(x)=x^2$

Gleichung, die das Verhalten der Funktion rechnerisch beschreibt

Wertetabelle

Eine weitere Möglichkeit, die Arbeitsweise einer Funktion zu beschreiben, ist die Wertetabelle. Für eine Reihe von x-Werten wird jeweils der entsprechende y-Wert $f(x)$ berechnet und in einer Tabelle dem x-Wert gegenübergestellt.

Für die Funktion $f(x)=x^2$ kann man z.B. folgende Wertetabelle aufstellen:

Tabelle 1: $f(x)=x^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	9	4	1	0	1	4	9

In der Tabelle 1 sind alle x-Werte ganze Zahlen. Es können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte vorkommen.

1. Aufgabe

Übertrage die Tabelle 2 für die Funktion $f(x)=x^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie für positive x-Werte. Runde auf zwei Stellen hinter dem Komma.

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25		0,75	1,25		1,75	2,25
f(x)		0,25			2,25			6,25

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25	0,5	0,75	1,25	1,5	1,75	2,25	2,5
f(x)	0,06	0,25	0,56	1,56	2,25	3,06	5,06	6,25

Funktionsgraph

Man kann die Arbeitsweise einer Funktion anschaulich durch einen Funktionsgraphen darstellen. Dazu fasst man die Wertepaare $[x ; f(x)]$ aus der Wertetabelle als Punkte $(x | y)$ im Koordinatensystem auf.

Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form $y = m \cdot x +b$ besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf einer Geraden liegen. Jetzt soll untersucht werden, wie das bei der Funktion $f(x)=x^2$ aussieht.

2. Aufgabe

• Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 in deinem Arbeitsheft als Punkte in ein Koordinatensystem.
• Füge einige beliebige weitere Punkte deiner Wahl hinzu.
• Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ aus - also die Menge aller Punkte $P(x | x^2)$ im Koordinatensystem?
• Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen.

Mögliche Antworten:

• Je mehr Punkte $(x|x^2)$ man berechnet und im Koordinatensystem einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte zu einer durchgehenden, gekrümmten Linie.
• Die Krümmung ist in der Nähe des Ursprungs am größten.
• Der Graph verläuft ausschließlich im 1. und 2. Quadranten.
• Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.

Definition Normalparabel

Der Graph der quadratischen Funktion $f(x)=x^2$ wird als "Normalparabel" bezeichnet. Dabei sind als Argumente $x$ alle bekannten Zahlen zugelassen ($x \in \mathbb {Q}$ oder $x \in \mathbb {R}$).

Die Normalparabel besteht aus der Menge aller Punkte $P(x | y)$ im Koordinatensystem, bei denen die y-Koordinate das Quadrat der x-Koordinate ist, für die also gilt: $y = x^2$.

QF01 Normalparabel Arial24.pdf

3. Aufgabe - Graphisches Quadrieren

Lies für folgende x-Werte den Wert $y=x^2$ "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).

1. $x=2,7$    $x^2=?$
2. $x=-2,4$    $x^2=?$
3. $x=1,8$    $x^2=?$

Du kannst für dieses Aufgabe entweder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden (gibt es im Anhang auch mit Braille-Beschriftung als taktile Schwellpapier-Kopiervorlage) oder das GeoGebra-Applet "Normalparabel $f(x) = x^2$. In diesem kannst du den Punkt auf der x-Achse oder den Punkt auf der Parabel mit der Maus verschieben.

Zur Erinnerung: Definition der "Quadratwurzel"

Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl $a$ ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat $a$ ist. Man bezeichnet diese Zahl als $\sqrt{a}$. Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: $\sqrt{0} = 0$. Beachte:

1. Die Gleichung $x^2 = 9$ besitzt zwar zwei Lösungen, nämlich $x_1 = -3$ und $x_2 = 3$. Aber nur die positive dieser beiden Lösungen wird als "Quadratwurzel aus 9" $\sqrt{9}$ (oder kurz "Wurzel aus 9") definiert.
2. Für negative Zahlen $a$ ist die Quadratwurzel nicht definiert (jedenfalls im Moment noch nicht). Ein Ausdruck wie $\sqrt{-1}$ ist also z.B. nicht definiert.

4. Aufgabe - Graphisches Wurzelziehen

Lies für folgende y-Werte ihre Quadratwurzel "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Du kannst hierfür wieder entweder das GeoGebra Applet "Normalparabel $f(x) = x^2$" oder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden. Rechne anschließend nach.

1. $x^2=1,44$    $x=?$
2. $x^2=6,25$    $x=?$
3. $x^2=2$    $x=?$

Die Form der Normalparabel

Info: Der tiefste Punkt der Normalparabel (0|0) wird als ihr Scheitelpunkt bezeichnet. Der "rechte Ast" der Normalparabel verläuft rechts vom Scheitelpunkt (für positive x-Werte) im 1. Quadranten des Koordinatensystems. Der "linke Ast" verläuft (für negative x-Werte) links vom Scheitelpunkt im 2. Quadranten. Im 3. und 4. Quadranten verläuft die Normalparabel gar nicht.

Aufgabe: Begründe rechnerisch: Die Normalparabel verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse. Allgemein: Alle Funktionsgraphen, die die Bedingung f(x) =f(-x) erfüllen, verlaufen achsensymmetrisch zur y-Achse.

Lösung: Man wählt einen beliebigen Punkt P(x|x^2) auf dem rechten Parabelast und geht von dort aus auf dem kürzesten Weg, also parallel zur x-Achse, auf die y-Achse zu. Man trifft im Punkt Q(0|x^2) auf die y-Achse. Die Länge der Strecke PQ ist x. Verlängert man nun PQ um die gleiche Länge noch einmal in gleicher Richtung, so landet man im "Spiegelpunkt" P'(-x|x^2). Dieser liegt aber ebenfalls auf der Normalparabel, denn f(-x) = x^2. Allgemein: Die Gleichung f(x) = f(-x) drückt aus, dass es zu jedem Punkt P(x|f(x)) auf der rechten Seite des Graphen von f einen Punkt P'(-x|f(x)) mit gleichem Abstand zu den Achsen auf der linken Seite gibt und umgekehrt. Alle Funktionsgraphen, deren Funktionsgleichung die Bedingung f(x) =f(-x) erfüllen, verlaufen daher achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Parabel-Treppe Folge der ungeraden Zahlen

Mathematikum: u * v am Parabelrechner https://mathothek.de/katalog/der-parabelrechner-er-ist-keine-konkurenz-fuer-den-taschenrechner/

Stifte in den Parabelpunkten mit ganzzahligen Koordinaten (-10|100), (-9|

Gerade g(x) =mx +b durch U(u|u^2) und V(v|v^2): m= (v^2 -u^2)/(v-u) = (v+u)(v-u)/(v-u) = v+u g(v) = (v+u)*v +b = v^2 v^2 + u*v +b = v^2 -u*v = b