Quadratische Funktionen erkunden/Die Normalform

In diesem Kapitel wirst du Experte für die Normalform quadratischer Funktionen. Bisher hast du quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform kennengelernt. In Anwendungen wird jedoch häufig diese andere Variante quadratischer Funktionen genutzt. In diesem Kapitel

lernst du eine Anwendungsbeispiel aus der Fahrschule kennen,
erfährst, wie Terme quadratischer Funktionen in Normalform aussehen und
du lernst in einem Quiz und einer Partnerarbeit Eigenschaften und Besonderheiten der Normalform näher kennen.

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 13) .

In der Fahrschule lernt man eine Faustformel zur Berechnung des Bremsweges eines Autos kennen. Sie lautet „Geschwindigkeit durch 10 Mal Geschwindigkeit durch 10“ – in Termen ausgedrückt (mit v für Geschwindigkeit): $f(v) \approx \frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10}$ . Für den tatsächlichen Anhalteweg muss jedoch auch noch der Reaktionsweg des Fahrers beachtet werden. Durch sie wird ein Weg von annähernd „drei Mal die Geschwindigkeit durch 10“ zurückgelegt und der zugehörige Term lautet $f(v) \approx \frac{3 \cdot v}{10}$ .

Der Anhalteweg eines PKW lässt sich also näherungsweise mit folgender Formel bestimmen: $f(v)\approx\frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10}+\frac{3 \cdot v}{10}=\frac{v^2}{100}+\frac{3 \cdot v}{10}$

a) Berechne den Anhalteweg für die Geschwindigkeiten: 30 km/h, 50 km/h und 70 km/h und 100 km/h. Trage deine Ergebnisse in die Tabelle in deinem Hefter ein.

Zur Kontrolle kannst du das folgende Applet benutzen:

Der Anhalteweg wird durch einsetzen der Geschwindigkeiten v in die obige Formel berechnet. Es ergeben sich: $f(30)\approx\frac{30}{10}\cdot\frac{30}{10}+\frac{3 \cdot 30}{10}=\frac{30^2}{100}+\frac{3 \cdot 30}{10}=18$ , $f(50)\approx\frac{50^2}{100}+\frac{3 \cdot 50}{10}=40$ ,

$f(70)\approx\frac{70^2}{100}+\frac{3 \cdot 70}{10}=70$ und

f(100)\approx\frac{100^2}{100}+\frac{3 \cdot 100}{10}=130

.

b) Zeichne den zugehörigen Graphen in deinen Hefter und beschreibe seinen Verlauf in wenigen Sätzen.

Der Anhalteweg ist abhängig von der Geschwindigkeit. Trage deshalb die Geschwindigkeiten auf der x-Achse und die Anhaltewege auf der y-Achse deines Koordinatensystems ein.

Der Graph zeigt nur die positiven Werte der (quadratischen) Funktion für den Anhalteweg, da der Kontext keine sinnvolle Beschreibung negativer Werte erlaubt. Der Anhalteweg verlängert sich deutlich mit zunehmender Geschwindigkeit, das heißt der Graph steigt rasch an, was charakteristisch für quadratische Funktionen mit positivem Paramter a (hier a=1) ist.

Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 5) .

Denke dir eine quadratische Funktion in Normalform aus. Notiere den Term und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an. Zur Kontrolle kannst du das unten stehende GeoGebra-Applet nutzen.

Merke

Terme quadratischer Funktionen können in der Form $f(x)=ax^2+bx+c$ (mit a ≠ 0) beschrieben werden. Diese Darstellungsform nennt man Normalform. In der Normalform quadratischer Funktionen kann der y-Achsenabschnitt c direkt abgelesen werden.

Aufgabe 3

Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Tabelle) quadratischer Funktionen.

a) Löse das folgende Quiz, indem du immer zwei Karten zu einem Paar zusammenfügst.

b) Du hattest noch ein paar Schwierigkeiten bei der Zuordnung? Schau dir die folgenden Tipps an und versuche es erneut!

Du kannst...

...den y-Achsenabschnitt an den Funktionsgraphen ablesen. Passt er zu einem der Funktionsterme? Oder findest du ihn in einer der Tabellen wieder?

...einen beliebigen Punkt an den Graphen ablesen. Setze die Koordinaten in einen der Funktionsterme ein oder vergleiche sie mit den Werten in einer der Tabellen.

...auf der Parameterseite nachschauen wofür die Paramter in der Normalform stehen. Was ist nochmal der y-Achsenabschnitt, was der Streckungsfaktor?

Der y-Achsenabschnitt hat die Koordinaten P(0|c). In Tabellen findest du ihn deshalb als y-Wert zu x=0. In Termen steht er als Paramter c, z. B. mit c=3 in $y=x^2+2x+3$ .

Du hast alle Paare richtig zusammengefügt? Spitzenleistung, weiter zur nächsten Aufgabe!

Aufgabe 4

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 14) und einen Partner .

a) Finde Werte für a, b und c, so dass $f(x)$ die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

Überlege dir, welche Auswirkungen die einzelnen Parameterseite auf die Lage der Parabel haben.

Ist die Parabel auf dem Bild nach oben oder nach unten geöffnet? Ist sie gestreckt oder gestaucht? Stell den Parameter a dementsprechend ein.
In welchem Quadranten liegt die Parabel? Muss b positiv oder negativ sein?
Kannst du einen y-Achsenabschnitt sehen? Stell den Parameter c dementsprechend ein.
Kannst du den y-Achsenabschnitt nicht erkennen? Stell die Paramter a und b so ein, dass die Parabel genau über oder unter der Parabel auf dem Foto ist. Danach kannst du sie mit dem Parameter c in die richtige Höhe verschieben.

Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

Hintergrundbild	Lösungsvorschlag	Parameter a	Parameter b	Parameter c
Angry Birds	$f(x)=-0.13x^2+1.82x-1.52$	-0.14 ≤ a ≤ -0.13	1.82 ≤ b ≤ 1.95	-1.85 ≤ c ≤ -1.52
Golden Gate Bridge	$f(x)=0.04x^2-0.46x+2.30$	0.03 ≤ a ≤ 0.05	-0.40 ≤ b ≤ -0.50	2.05 ≤ c ≤ 2.30
Springbrunnen	$f(x)=-0.33x^2+3.20x-2.46$	-0.40 ≤ a ≤ -0.30	3.15 ≤ b ≤ 3.35	-2.95 ≤ c ≤ -2.45
Elbphilharmonie (Bogen links)	$f(x)=0.40x^2-2.00x+6.85$	0.33 ≤ a ≤ 0.47	1.80 ≤ b ≤ 2.00	6.35 ≤ c ≤ 6.85
Elbphilharmonie (Bogen mitte)	$f(x)=0.33x^2-3.86x+14.69$	0.30 ≤ a ≤ 0.36	-4.10 ≤ b ≤ -3.60	13.65 ≤ c ≤ 14.95
Elbphilharmonie (Bogen rechts)	$f(x)=0.22x^2-4.14x+23.04$	0.18 ≤ a ≤ 0.27	-3.40 ≤ b ≤ -5.05	19.70 ≤ c ≤ 27.20
Gebirgsformation	$f(x)=-0.2x^2+2.16x-3.53$	-0.30 ≤ a ≤ -0.15	1.55 ≤ b ≤ 3.30	-6.35 ≤ c ≤ -1.70
Motorrad-Stunt	$f(x)=-0.07x^2+1.08x+1.79$	-0.10 ≤ a ≤ -0.04	0.85 ≤ b ≤ 1.30	0.95 ≤ c ≤ 1.79
Basketball	$f(x)=-0.32x^2+4.16x-7.07$	-0.35 ≤ a ≤ -0.29	3.80 ≤ b ≤ 4.40	-7.40 ≤ c ≤ -6.10

b) Vielleicht ist dir aufgefallen, dass diese Aufgabe so ähnlich in dem Kapitel Scheitelpunktform auftaucht (S. 9). Vergleiche deine Ergebnisse aus beiden Aufgaben. Wo siehst du Parallelen und was ist anders? Notiere deine Überlegungen.

c) Vergleiche deine Erkenntnisse aus Aufgabe b) mit den Ergebnissen deines Partners. Fasst eure Erkenntnisse gemeinsam in wenigen Sätzen zusammen.

Es ist möglich, die gleiche Parabel mit einem Term in der Normalform und einem Term in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen zu beschreiben. Der Parameter a bleibt dabei in beiden Darstellungsformen gleich. Die Parameter b, c, d und e sind unterschiedlich.