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Die Normalparabel - Funktionsgraph einer quadratischen Funktion

In diesem Kapitel

• werden einige Grundlagen im Zusammenhang mit dem Funktionsbegriff wiederholt
• erfährst du, wie eine Normalparabel als Funktionsgraph entsteht
• wird kurz wiederholt, was man unter der Quadratwurzel einer Zahl versteht (und was nicht)
• lernst du einige graphische Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie rechnerisch begründen kann

Funktionenmaschine

Funktionenmaschine $f(x)=x^2$

Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: $5^2 = 5\cdot 5 = 25$.

Man kann die Arbeitsweise der Quadriermaschine sehr einfach mithilfe einer Rechenvorschrift beschreiben: $y = x^2$. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: $f(x) = x^2$. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "$f$") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: $f(5) = 5^2$.

Funktion als "eindeutige Zuordnung"

Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert $x=3$ in die Funktion $f(x) =x^2$, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert $y=9$. Jedem x-Wert wird also eindeutig genau ein y-Wert zugeordnet.
Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein, d.h. es kann mehrere x-Werte geben, denen der gleiche y-Wert zugeordnet wird. So wird z.B. bei der Funktion $f(x) =x^2$ der y-Wert $y=9$ als Funktionswert sowohl dem x-Wert $x=-3$ als auch dem x-Wert $x=3$ zugeordnet, denn $f(-3)=(-3)^2 = 9$ ("Minus mal minus ergibt plus.") und $f(3) = 3^2 = 9$.

Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen

Argument $x$

x-Wert, input der Funktion

Funktionswert $f(x)$

y-Wert, output der Funktion

Funktionsterm $x^2$

Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte

Funktionsgleichung $f(x)=x^2$

Gleichung, die das Verhalten der Funktion rechnerisch beschreibt

Wertetabelle

Eine weitere Möglichkeit, die Arbeitsweise einer Funktion zu beschreiben, ist die Wertetabelle. Für eine Reihe von x-Werten wird in einer Tabelle jeweils einem x-Wert der y-Wert $f(x)$ gegenübergestellt, der sich aus der Funktionsvorschrift berechnen lässt.

Für die Funktion $f(x)=x^2$ kann man z.B. folgende Wertetabelle aufstellen:

Tabelle 1: $f(x)=x^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	9	4	1	0	1	4	9

In der Tabelle 1 sind alle x-Werte ganze Zahlen. Es können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte vorkommen.

1. Aufgabe

Übertrage die Tabelle 2 für die Funktion $f(x)=x^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie für positive x-Werte. Runde auf zwei Stellen hinter dem Komma.

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25		0,75	1,25		1,75	2,25
f(x)		0,25			2,25			6,25

Tabelle 2: $f(x)=x^2$

x	0,25	0,5	0,75	1,25	1,5	1,75	2,25	2,5
f(x)	0,06	0,25	0,56	1,56	2,25	3,06	5,06	6,25

Funktionsgraph

Man kann die Arbeitsweise einer Funktion anschaulich durch einen Funktionsgraphen darstellen. Dazu fasst man die Wertepaare $[x ; f(x)]$ aus der Wertetabelle als Punkte $(x | y)$ im Koordinatensystem auf.

Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form $y = m \cdot x +b$ besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf einer Geraden liegen. Jetzt soll untersucht werden, wie das bei der Funktion $f(x)=x^2$ aussieht.

2. Aufgabe

• Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 in deinem Arbeitsheft als Punkte in ein Koordinatensystem.
• Füge einige beliebige weitere Punkte deiner Wahl hinzu.
• Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ aus - also die Menge aller Punkte $P(x | x^2)$ im Koordinatensystem?
• Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen.

QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf

Mögliche Antworten:

• Je mehr Punkte $(x|x^2)$ man berechnet und im Koordinatensystem einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte zu einer durchgehenden, gekrümmten Linie.
• Die Krümmung ist in der Nähe des Ursprungs am größten.
• Der Graph verläuft ausschließlich im 1. und 2. Quadranten.
• Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.

Definition Normalparabel

Der Graph der quadratischen Funktion $f(x)=x^2$ wird als Normalparabel bezeichnet.

Die Normalparabel besteht aus der Menge aller Punkte $P(x | y)$ im Koordinatensystem, bei denen die y-Koordinate das Quadrat der x-Koordinate ist, für die also gilt: $y = x^2$.

Die Menge aller Argumente $x$, die bei einer Funktion als input zugelassen werden können, wird auch als der Definitionsbereich $\mathbb {D}$ der Funktion bezeichnet. Bei der Normalparabel ist $\mathbb {D} = \mathbb {R}$.

Die Menge aller Funktionswerte $y$, die von einer Funktion als output erzeugt werden können, bezeichnet man auch als ihren Wertebereich $\mathbb {W}$. Bei der Normalparabel ist $\mathbb {W} = \mathbb {R}_0^+$, da durch das Quadrieren keine negativen Werte entstehen können.

QF01 Normalparabel Arial24.pdf

3. Aufgabe - Graphisches Quadrieren

Lies für folgende x-Werte den Wert $y=x^2$ "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).

1. $x=2,7$    $x^2=?$
2. $x=-2,5$    $x^2=?$
3. $x=1,8$    $x^2=?$

Du kannst für dieses Aufgabe entweder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden (, die es im Anhang auch mit Braille-Beschriftung als taktile Schwellpapier-Kopiervorlage gibt), oder das GeoGebra-Applet "Normalparabel $f(x) = x^2$. In diesem kannst du den Punkt auf der x-Achse oder den Punkt auf der Parabel mit der Maus verschieben.

Zur Erinnerung: Definition der "Quadratwurzel"

Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl $a$ ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat $a$ ist. Man bezeichnet diese Zahl mit dem Symbol $\sqrt{a}$. Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: $\sqrt{0} = 0$.

Beachte bitte:

1. Die Gleichung $x^2 = 9$ besitzt zwar zwei Lösungen, nämlich $x_1 = -3$ und $x_2 = 3$. Aber nur die positive dieser beiden Lösungen wird als "Quadratwurzel aus 9" $\sqrt{9}$ (oder kurz "Wurzel aus 9") definiert (damit die Wurzel-Definition eindeutig ist).
2. Für negative Zahlen $a$ ist die Quadratwurzel nicht definiert (jedenfalls im Moment noch nicht). Es gibt beispielsweise keine reelle Zahl $x \in \mathbb {R}$, für die $x^2 = -1$ ist. Dementsprechend ist auch der Ausdruck $\sqrt{-1}$ keine reelle Zahl und somit in $\mathbb {R}$ nicht definiert.

4. Aufgabe - Graphisches Wurzelziehen

Lies für folgende y-Werte ihre Quadratwurzel "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Du kannst hierfür wieder entweder das GeoGebra Applet "Normalparabel $f(x) = x^2$" oder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden. Rechne anschließend nach.

1. $y=1,44$    $\sqrt{y}=?$
2. $y=6,25$    $\sqrt{y}=?$
3. $y=2$    $\sqrt{y}=?$

Die Form der Normalparabel

Weitere Begriffe zur Normalparabel

• Der tiefste Punkt der Normalparabel $(0|0)$ wird als ihr Scheitelpunkt bezeichnet.
• Der rechte Ast der Normalparabel verläuft rechts vom Scheitelpunkt (für positive x-Werte) im 1. Quadranten des Koordinatensystems.
• Der linke Ast verläuft (für negative x-Werte) links vom Scheitelpunkt im 2. Quadranten.

5. Aufgabe Achsensymmetrie

Man kann bestimmte geometrische Eigenschaften von Funktionsgraphen - wie z.B. die Eigenschaft der Achsensymmetrie - mithilfe rechnerischer Eigenschaften des Funktionsterms überprüfen.

• Zeige, dass die Funktion $f(x) = x^2$ für alle $x \in \mathbb {R}$ die Bedingung $f(x) =f(-x)$ erfüllt.
• Begründe mithilfe dieser rechnerischen Eigenschaft, dass die Normalparabel achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.
• Begründe, dass bei allen Funktionen, die die Bedingung $f(x) =f(-x)$ für alle $x \in \mathbb {D}$ erfüllen, der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

• Für alle $x \in \mathbb {R}$ gilt: $f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)$.
• Um die Achsensymmetrie zur y-Achse nachzuweisen, wählt man einen beliebigen Punkt $P(x|x^2)$ auf dem rechten Parabelast und geht von dort aus auf dem kürzesten Weg, also parallel zur x-Achse, auf die y-Achse zu. Der Punkt, in dem man auf die y-Achse trifft, besitzt die Koordinaten $Q(0|x^2)$. Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ ist $x$. Verlängert man nun $\overline{PQ}$ um die gleiche Länge noch einmal in gleicher Richtung, so landet man im "Spiegelpunkt" $P'(-x|x^2)$. Dieser liegt aber ebenfalls auf der Normalparabel, denn es gilt $f(-x) = (-x)^2 = x^2$.
• Allgemein: Betrachtet man für ein beliebiges $x \in \mathbb {R}$ einen Punkt $P(x|f(x))$ auf der rechten Seite des Graphen, dann gibt es einen weiteren Punkt $P'(-x|f(-x))$ mit gleichem Abstand $| x |$ zur y- Achse auf seiner linken Seite. Da die Bedingung $f(x) = f(-x)$ erfüllt ist, besitzen beide Punkte $P$ und $P'$ auch die gleiche y-Koordinate und liegen somit achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Parabel-Treppe

Manchmal ist es nützlich, wenn man vom Scheitelpunkt einer Parabel ausgehend schnell die Koordinaten weiterer Parabelpunkte angebenen kann, ohne erst eine Wertetabelle anlegen zu müssen. Mit der Parabel-Treppe ist das ganz einfach möglich.

6. Aufgabe Parabel-Treppe - 1. Stufe

1. Gehe im Koordinatensystem vom Scheitelpunkt $P_0(0|0)$ der Normalparabel aus um eine Einheit nach rechts. In welchem Punkt landest du?
2. Um wie viele Einheiten musst du von hier aus senkrecht nach oben gehen, bis du wieder auf die Parabel triffst und in welchem Punkt landest du?

1. Wenn man vom Ausgangspunkt $P_0(0|0)$ um eine Einheit nach rechts geht, gelangt man auf der x-Achse zum Zwischenpunkt $Z_1(1|0)$.
2. Wenn man von dort aus um 1 Einheit nach oben geht, landet man wieder auf der Parabel im Zielpunkt $P_1(1|1)$.

7. Aufgabe Parabel-Treppe - weitere Stufen

1. Gehe im Koordinatensystem vom Parabelpunkt $P_1(1|1)$ aus um eine Einheit nach rechts und anschließend wieder senkrecht nach oben bis zur Parabel. Die Länge dieser senkrechte Strecke entspricht der Höhe der 2. Treppenstufe. Wie hoch ist diese? Wie lauten die Koordinaten des Punktes $P_2$, in dem du jetzt auf der Parabel gelandet bist?
2. Gehe auch von $P_2$ aus wieder um eine Einheit nach rechts und dann senkrecht bis zur Normalparabel. Um wie viele Einheiten musst du dabei senkrecht gehen, d.h. wie hoch ist die 3. Stufe?
3. Wenn du die Stufenschritte noch weiter wiederholst: Um wie viele Einheiten musst du bei den nächsten Schritten jeweils senkrecht nach oben gehen? Welche Regelmäßigkeit steckt dahinter? Was vermutest du?
4. Formuliere deine Vermutung in Form einer Gleichung, mit der die Höhe $h$ der x-ten Stufe aus der Nummer $x$ dieser Stufe berechnet werden kann. Berechne mit dieser Formel die Höhe der 100. Stufe.

1. Wenn man von $P_1(1|1)$ aus eine Einheit nach rechts geht, muss man 3 Einheiten nach oben gehen, um im Punkt $P_2(2|4)$ wieder auf der Parabel zu landen. Die 2. Stufe ist also 3 Einheiten hoch.
2. Von $P_2$ aus geht man eine Einheit nach rechts und dann 5 Einheiten nach oben, um im Punkt $P_3(3|9)$ wieder auf die Parabel zu treffen. Die 3. Stufe ist also 5 Einheiten hoch.
3. Die Stufenhöhen sind bei den ersten drei Stufen 1, 3 und 5, also aufeinander folgende ungerade Zahlen. Vermutung: Auch die weiteren Stufenhöhen sind die nächsten ungeraden Zahlen, also 7 und 9.
4. Entwicklung einer Formel für die Berechnung der x-ten Stufenhöhe:
   Stufe Nr. 1: $h = 2 \cdot \boldsymbol{1} -1 = 1$
   Stufe Nr. 2: $h = 2 \cdot \boldsymbol{2} -1 = 3$
   Stufe Nr. 3: $h = 2 \cdot \boldsymbol{3} -1 = 5$
   Stufe Nr. x: $h = 2 \cdot \boldsymbol{x} -1$
   In der 100. Stufe beträgt die Höhe demnach $h = 2 \cdot 100 -1 = 199$.

QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf

8. Aufgabe Parabel-Treppe - allgemeine Regel

Beweise die Formel für die Höhe der x-ten Stufe $h = 2 \cdot x -1$ (Vermutung aus der 7. Aufgabe) rechnerisch mithilfe des Funktionsterms der Normalparabel.

Die Höhe einer Stufe entspricht der Höhendifferenz zweier benachbarter Parabelpunkte, deren Abstand in x-Richtung 1 beträgt.

Beispiel: Die Höhe der 2. Stufe entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte $P_2(2|4)$ und $P_1(1|1)$, also der Differenz der Funktionswerte $f(2)$ und $f(1)$. Es gilt $h = f(2) - f(1) = 2^2 - 1^2 = 4 -1 = 3$.

Allgemeine Begründung: Die Höhe der x-ten Stufe entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte $P_x(x|f(x))$ und $P_{x-1}(x-1|f(x-1))$, also der Differenz der Funktionswerte $f(x)$ und $f(x-1)$. Es gilt also: $h = f(x)- f(x-1)=x^2 -(x-1)^2$ $= x^2 -(x^2 -2x +1) = x^2 -x^2 +2x -1 = 2x -1$

Der Parabelrechner

Mithilfe einer Normalparabel kann man beliebige Zahlen "graphisch multipliziert". Wie das praktisch geht, wird hier an einem sehr einfachen Beispiel erklärt. Aber eine rechnerische Begründung dafür zu finden, warum es tatsächlich immer funktioniert, das ist anschließend deine Aufgabe.

In unserem Beispiel sollen die beiden Zahlen 2 und 3 multipliziert werden. Da die Zahlen recht klein sind, reicht dafür die Normalparabel in der Abbildung QF01 Normalparabel Arial24.pfd aus. Für die Multiplikation größerer Zahlen benötigt man eine größere Normalparabel. Eine solche hängt z.B. im Mathematikum in Gießen als Exponat an der Wand. Eine Beschreibung dieses Parabelrechners findet man auch auf der Seite der Mathotek Der Parabelrechner - Er ist keine Konkurrenz für den Taschenrechner

Um beispielsweise die Zahlen $u=2$ und $v=3$ mit der Normalparabel graphisch zu multiplizieren, geht man zunächst im Koordinatensystem vom Ursprung aus um $u=2$ Einheiten nach links, also zum Punkt $(-2|0)$ und von dort aus senkrecht nach oben, bis man im Punkt $U(-2|4)$ auf die Normalparabel trifft. Anschließend geht man vom Ursprung aus um $v=3$ Einheiten nach rechts, also zum Punkt $(3|0)$ und von dort aus senkrecht nach oben, bis man im Punkt $V(3|9)$ auf die Normalparabel trifft. Nun zeichnet man die Strecke $\overline{UV}$. In der Abbildung kann man nun ablesen, dass diese Strecke $\overline{UV}$ die y-Achse im Punkt $P(0|6)$ schneidet. Die y-Koordinate 6 dieses Schnittpunktes ist das Produkt der beiden Ausgangszahlen $u$ und $v$, denn es ist $u \cdot v = 2 \cdot 3 = 6$.

9. Aufgabe Parabelrechner Beweis am Beispiel

Beweise rechnerisch für die Zahlen $u=2$ und $v=3$, dass die Gerade durch die Parabelpunkte $U(-2|(-2)^2)$ und $V(3|3^2)$ die y-Achse im Punkt $(0|u \cdot v) = (0|6)$ schneidet.

Man stellt die Gleichung der Geraden $g(x) =m \cdot x +b$ auf, die durch die Punkte $U(-2|(-2)^2)$ und $V(3|3^2)$ geht. Dazu bestimmt man zunächst den Steigungsfaktor $m$ und anschließend den y-Achsenabschnitt $b$.

$m= \frac{3^2 -(-2)^2}{3-(-2)} = \frac{9 -4}{3 +2} = \frac{5}{5} = 1$

Um $b$ zu berechnen, kann man $m=1$ und die Koordinaten eines der beiden Punkte (z.B. $V(3|9)$) in die Geradengleichung $g(x) =m \cdot x +b$ einsetzen:

$g(3) = 1 \cdot 3 + b = 9$
$\Leftrightarrow b =6 =2 \cdot 3$

10. Aufgabe Parabelrechner Beweis allgemein

Beweise rechnerisch für beliebige Zahlen $u, v \in \mathbb {R}$ ganz allgemein, dass die Gerade durch die Parabelpunkte $U(-u|(-u)^2)$ und $V(v|v^2)$ die y-Achse im Punkt $(0|u \cdot v)$ schneidet.

Man stellt die Gleichung der Geraden $g(x) =m \cdot x +b$ auf, die durch die Punkte $U(-u|(-u)^2)$ und $V(v|v^2)$ geht. Dazu bestimmt man zunächst den Steigungsfaktor $m$ und anschließend den y-Achsenabschnitt $b$ in Abhängigkeit von $u$ und $v$.

$m= \frac{v^2 -(-u)^2}{v-(-u)} = \frac{v^2 -u^2}{v+u}$
$= \frac{(v+u)\cdot (v-u)}{v+u} = v-u$

Um $b$ zu berechnen, kann man $m=v-u$ und die Koordinaten eines der beiden Punkte (z.B. $V(v|v^2)$) in die Geradengleichung $g(x) =m \cdot x +b$ einsetzen:

$g(v) = (v-u) \cdot v +b = v^2$
$\Leftrightarrow v^2 - u \cdot v +b = v^2$
$\Leftrightarrow b = u \cdot v$

QF01 Normalparabel Parabelrechner Arial24.pdf

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