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Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben

In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrer Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ hinter dem $x^2$ eine konstante Zahl addiert oder subtrahiert. Beispielhaft werden dafür die Funktionen $g(x)=x^2 +1$ und $h(x) =x^2 -4$ genauer unter die Lupe genommen.

Außerdem erfährst du,

• was eine Funktionenschar ist,
• was man unter der Nullstelle einer Funtion versteht und
• schließlich lernst du noch die allgemeine Gleichung für eine Transformation von Funktionsgraphen in y-Richtung kennen.

1. Aufgabe

Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=x^2+1$ und $h(x)=x^2-4$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$
$g(x)=x^2+1$
$h(x)=x^2-4$

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$	9	4	1	0	1	4	9
$g(x)=x^2+1$	10	5	2	1	2	5	10
$h(x)=x^2-4$	5	0	-3	-4	-3	0	5

2. Aufgabe

QF02 Abbildung 1 Arial24

1. In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" sind drei Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet und einer mit durchgezogener Linie. Ordne diese drei Graphen den Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=x^2+1$ und $h(x)=x^2-4$ zu. Begründe deine Zuordnung mithilfe von Beispielpunkten aus der Tabelle 1.
2. Zeige mithilfe der Wertetabellen, dass man auch an die Graphen von $g$ und $h$ Parabel-Treppen wie bei der Normalparabel anlegen kann (siehe QF01 Normalparabel).
3. Begründe, dass der Graph von $g(x)=x^2+1$ eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel und der Graph von $h(x)=x^2-4$ eine um 4 Einheiten nach unten verschobene Normalparabel ist.

1. Die durchgezogene Linie ist die Normalparabel, also der Graph der Funktion $f$ (siehe QF01 Normalparabel).
   Die gepunktete Linie ist der Graph der Funktion $g(x)=x^2 +1$. In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt $(0|1)$ schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von $g$, denn $g(0) = 0^2 +1 = 1$.
   Die gestrichelte Linie ist der Graph der Funktion $h$. In der Abbildung erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt $(0|-4)$ schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von $h$, denn $h(0) = 0^2 -4 = -4$.
2. Wenn man in der Wertetabelle von $g$ vom Koordinatenpaar $(0|1)$ ausgehend die x-Koordinate schrittweise um 1 erhöht, dann erhöhen sich die entsprechenden y-Werte schrittweise um 1, 3 und 5, also um aufeinander folgende ungerade Zahlen - wie bei der Parabel-Treppe der Normalparabel (siehe QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe). Das gleiche gilt auch für die Funktion $h$, wenn man bei ihr von $(0|-4)$ ausgeht.
3. Für jeden beliebigen x-Wert liegt der Punkt $P(x | x^2)$ auf der Normalparabel und für den gleichen x-Wert liegt der Punkt $Q(x | x^2 +1)$ auf dem Graphen von $g(x)=x^2 +1$. Im Koordinatensystem liegt der Punkt $Q$ eine Einheit senkrecht oberhalb von $P$. Man gelangt also von $P$ zu $Q$, indem man $P$ um eine Einheit nach oben verschiebt. Da dies für jeden beliebigen Punkt $P(x | x^2)$ der Normalparabel gilt, ist der gesamte Graph von $g(x)=x^2 +1$ eine um 1 nach oben verschobene Normalparabel.
   Diese Argumentation lässt sich auch auf Funktion $h(x)=x^2-4$ übertragen, indem man die Verschiebungszahl 1 durch die Zahl -4 ersetzt.

3. Aufgabe $f(x) =x^2 +c$

1. Erkläre, warum der Graph der Funktion $f(x) =x^2 +c$ aus der Normalparabel durch eine Verschiebung in y-Richtung entsteht und welche Rolle dabei die Zahl $c$ spielt.
   
2. Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel $f(x) =x^2 +c$ an.

1. In der vorangegangen Aufgabe wurde begründet, warum der Graph der Funktion $g(x)=x^2 +1$ eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel ist. Diese Begründung lässt sich verallgemeinern, indem man in ihr einfach die Zahl 1 durch die Variable $c$ ersetzt. Dabei kann man die Subtraktion einer positiven Zahl (z.B. 4) auch als Addition ihrer negativen Gegenzahl (im Beispiel -4) auffassen. Die Addition einer negativen Zahl $c$ bedeutet demnach eine Verschiebung der Normalparabel nach unten.
2. Der Scheitelpunkt der Parabel $f(x) =x^2 +c$ liegt auf der y-Achse. Seine x-Koordinate ist daher gleich Null. Seine y-Koordinate erhält man durch $f(0) =0^2 +c = c$. Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten $(0|c)$.

Zusammenfassung   $f(x) =x^2 +c$   - Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung

• Für jede Zahl $c \in \mathbb{R}$ ist der Graph der Funktion $f(x) =x^2 +c$ eine um den Betrag von $c$ in y-Richtung verschobene Normalparabel.
• Wenn $c$ positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach oben (in positiver y-Richtung), bei negativem $c$ um eine Verschiebung nach unten.
• Der Scheitelpunkt der Parabel $f(x) =x^2 +c$ besitzt die Koordinaten $(0|c)$.

In dem GeoGebra-Applet kann man die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) =x^2 +c$ in y-Richtung verschieben, indem man die Position des Schiebereglers $c$ verändert oder den Scheitelpunkt auf der y-Achse mit der Maus verschiebt.

4. Aufgabe Punktprobe

Untersuche für jede der drei der Parabeln $f(x)=x^2$, $g(x)=x^2+1$ und $h(x)=x^2-4$, ob der Punkte $P(2,5|7)$ oberhalb, unterhalb oder genau auf der Parabel liegt.

$f(2,5)=2,5^2 = 6,25 < 7$. Um vom Punkt $(2,5|0)$ auf der x-Achse bis zum Punkt $(2,5|6,25)$ auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 6,25 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt $P(2,5|7)$ liegt 0,75 Einheiten darüber, also oberhalb der Normalparabel.
$g(2,5)=2,5^2+1 = 7,25 > 7$. Der Punkt $P(2,5|7)$ liegt unterhalb der Parabel $g(x)=x^2+1$.
Die Parabel $h(x)=x^2-4$ verläuft vollständig unterhalb der Normalparabel. Der Punkt $P(2,5|7)$ liegt oberhalb der Normalparabel, also erst recht oberhalb der Parabel $h(x)=x^2-4$.

Definition Nullstellen

Die x-Koordinate eines Punktes, in dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet oder berührt, bezeichnet man als Nullstelle der Funktion.

5. Aufgabe Nullstellen berechnen

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) =x^2-4$. Kontrolliere dein Ergebnis anhand der Abbildung QF02 Abbildung 1 oder mit dem GeoGebra-Applet zur Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung.

Ansatz zur Berechnung von Nullstellen: Setze den Funktionsterm von f gleich Null, kurz:$f(x)=0$. Dadurch entsteht eine Gleichung, die man nach $x$ auflösen kann.

Begründung für den Ansatz: Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben eines gemeinsam: ihre y-Koordinate ist gleich Null. Für die y-Koordinate eines Punktes, der sowohl auf der x-Achse als auch auf dem Graphen $f$ liegt, gilt also $f(x)=0$.

Ansatz: Setze $f(x) =x^2-4 = 0$.

Für die Berechnung derjenigen x-Werte, die diese Gleichung erfüllen, gibt es zwei mögliche Lösungswege:

1. Weg: Wurzelziehen
   $x^2 -4 = 0$ $\Leftrightarrow x^2 = 4$
   Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen, nämlich:
   $x_1 = +\sqrt{4}$ und $x_2 = -\sqrt{4}$
   Ergebnis: $x_1 = +2$ und $x_2 = -2$
2. Weg: Nullprodukt-Methode
   In der Gleichung $x^2 -4 = 0$ kann die linke Seite mithilfe der 3. binomischen Formel in ein Produkt umgeformt werden, so dass man die Gleichung
   $(x -2) \cdot (x+2) = 0$ erhält.
   Die Nullprodukt-Regel besagt: Wenn ein Produkt gleich Null ist, dann muss mindestens einer der Faktoren gleich Null sein. In diesem Fall ist also entweder der Inhalt der ersten Klammer oder der Inhalt der zweiten Klammer gleich Null:
   $x -2 = 0$ oder $x +2 = 0$
   Ergebnis: $x_1 = 2$ und $x_2 = -2$

$f_c(x)=x^2 +c$   als   Funktionenschar

Wenn man für $c \in \mathbb{R}$ verschiedene Zahlen wählt, erhält man durch die Funktionsvorschrift $f(x) =x^2 +c$ entsprechend viele verschiedene Funktionen mit unterschiedlichen Funktionsgraphen. Alle diese Funktionen bilden zusammen eine so genannte Funktionenschar. Man verwendet dafür auch die Schreibweise $f_c(x) =x^2 +c$ und bezeichnet $c$ als Scharparameter.

6. Aufgabe Scharparameter bestimmen

Gesucht ist derjenige Scharparameter $c \in \mathbb{R}$, für den der Punkt $P(-1,5|3)$ auf dem Graphen der Funktion $f_c(x) =x^2 +c$ liegt. Berechne dieses $c$.

Da der Punkt $P(-1,5|3)$ auf dem Graphen der Funktion $f_c(x) =x^2 +c$ liegen soll, kann man seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f_c(-1,5) = 3$
$\Leftrightarrow(-1,5)^2+c = 3$
$\Leftrightarrow 2,25 + c = 3$
$\Leftrightarrow c = 0,75$

7. Aufgabe Transformation   $g(x) = f(x) +c$  

Die Aussage zur senkrechten Verschiebung (Transformation) der Normalparabel kann noch verallgemeinert werden.
Begründe, dass für beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt: Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion $g$ aus der Funktionsgleichung einer anderen Funktion $f$dadurch entsteht, dass man im Funktionsterm von $f$ eine Zahl $c \in \mathbb{R}$ als Summand hinzufügt (kurz: $g(x) = f(x) +c$), dann bedeutet das für die Graphen der beiden Funktionen: Der Graph von $g$ entsteht, indem man den Graphen von $f$ um den Betrag von $c \in \mathbb{R}$ in y-Richtung verschiebt.

Bei der Begründung dieser Aussage kann man sich an der Lösung von Aufgabe 2 orientieren:
Für jeden beliebigen x-Wert liegt der Punkt $P(x | f(x))$ auf dem Graphen von $f$ und für den gleichen x-Wert liegt der Punkt $Q(x | g(x))$ auf dem Graphen von $g$. Da nach Voraussetzung für die Funktionsgleichungen die Beziehung $g(x) = f(x) +c$ gelten soll, liegt der Punkt $Q$ im Koordinatensystem $c$ Einheiten senkrecht oberhalb von $P$, wenn $c$ positiv ist, bzw. $c$ Einheiten senkrecht darunter, falls $c$ negativ ist. Man gelangt also von $P$ zu $Q$, indem man $P$ um den Betrag von $c$ nach oben bzw. nach unten verschiebt. Da dies für jeden beliebigen Punkt $P(x | f(x))$ des Graphen von $f$ gilt, erhält man den gesamten Graphen von $g$, indem man den Graphen von $f$ um $c$ verschiebt.

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