Integralrechnung/Aufgaben

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Aufgabe 4

Bestimme jeweils eine Stammfunktion $F(x)$ zu folgenden Funktionen $f(x)$ durch umgekehrte Differentiation.

1. $f(x)=x^2$
2. $f(x)=x^3$
3. $f(x)=3x$
4. $f(x)=x^5$
5. $f(x)=5x^2$
6. $f(x)=x^4$
7. $f(x)=2$
8. $f(t)=2t^5$
9. $f(x)=\frac{2}{5x^2}$
10. $f(x)=\cos{(3x)}$ (nur Lk)
11. $f(x)=x+2\sin{(2x)}$ (nur Lk)
12. $f(x)=e^x$
13. $f(x)=e^{-x}$
14. $f(x)=2\cdot e^x$
15. $f(x)=e^{-3x}$
16. $f(x)=\frac{1}{3}e^{x+5}$
17. $f(x)=1+e^{\frac{1}{2}x}$
18. $f(x)=\frac{5}{2}e^{2x-2}$

Die allgemeinen Lösungen lauten:

1. $F(x)=\frac{1}{3} \cdot x^3$
2. $F(x)=\frac{1}{4} \cdot x^4$
3. $F(x)=\frac{3}{2} \cdot x^2$
4. $F(x)=\frac{1}{6} \cdot x^6$
5. $F(x)=\frac{5}{3} \cdot x^3$
6. $F(x)=\frac{1}{5} \cdot x^5$
7. $F(x)= 2x$
8. $F(t)=\frac{1}{3} \cdot t^6$
9. $F(x)=-\frac{2}{5}x^{-1}=-\frac{2}{5x}$
10. $F(x)=\frac{1}{3}\sin{(3x)}$
11. $F(x)=\frac{1}{2} \cdot x^2 - \cos{(2x)}$
12. $F(x)=e^x$
13. $F(x)=-e^{-x}$
14. $F(x)=2\cdot e^x$
15. $F(x)=-\frac{1}{3}\cdot e^{-3x}$
16. $F(x)=\frac{1}{3} e^{x+5}$
17. $F(x)=x+2e^{\frac{1}{2}x}$
18. $F(x)=\frac{5}{4}e^{2x-2}$

Frage

Wie lautet die (allgemeine) Stammfunktion zur allgemeinen Potenzfunktion $f(x)= a \cdot x^n$?

$F(x)= \frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c$

Hauptsatz