Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining - Signifikanztest

Super! Jetzt hast du alle wichtigen Inhalte wiederholt und trainiert. Jetzt solltest du in der Lage sein, mögliche Klausuraufgaben zu lösen. Viel Spaß!

Aufgabe 1

Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartpohnehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 5% weniger fehlerhaft sind. In einem Test mit 100 zufällig entnommenen Smartphones, soll die Nullhypothese " Der Anteil der defekten Smartphones beträgt mindestens 5%" auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden.
a) Bestimme die Entscheidungsregel für den Test.
b) Beschreibe die zugehörigen Fehlerarten sowie die daraus resultierende Konsequenzen im Sachzusammenhang.

a) 1. Schritt:$H_0:p\geq0,05$ und $H_1:p<0,05$
2. Schritt: n=100 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist im Grenzfall $B_{100,0.05}$- verteilt.
4. Schritt: $P(X\leq kr)\leq0,05$
Aus Ablesen der Tabelle erhält man kr=1.
Annahmebereich: {2, ...,100} und Verwerfungsbereich: {0,1}.
b) Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich mindestens 5% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones unter 5% liegt.
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 5% der hergestellten Smartphones defekt, die Nullhypothese $H_0$ wird aber fälschlicherweise nicht verworfen.

Aufgabe 2

In Deutschland wurde in der letzten Zeit viel Werbung für den Goldstrand in Bulgarien gemacht. Daraufhin wird vermutet, dass vermehrt Menschen aus Deutschland den Urlaubsort aufsuchen. Bisher kamen 34% aller Touristen dort aus Deutschland. Mit einem Signifikanztest, bei dem zufällig 100 Urlauber am Golstrand befragt werden, soll überpürft werden, ob die Anteil der in Deutschland lebenden Touristen, gestiegen ist. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird auf 5% festgelegt.
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und formuliere die zugehörige Entscheidungregel.
b) In der Umfrage kommt raus, dass 45 der Befragten in Deutschland leben. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren?

a) 1. Schritt: $H_0:p\leq0,34$ und $H_1:p>0,34$
2. Schritt: $n=100$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten Urlauber, die in Deutschland leben. X ist im Grenzfall $B_{100,0.34}$ -verteilt
4. Schritt: $P(X\geq kr)\leq0,05\Rightarrow1-P(X\leq kr-1)\leq0,05$
$P(X\leq kr-1)\geq0,95$
Aus Ablesen der Tabelle kr-1=43 => kr=44
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {44...100}liegt.Der Annahmebereich ist das Intervall zwischen {0,...43}.
b) Das Ergebnis liegt im Verwerfungsbereich. Somit kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgegangen werden, dass der Anteil, der in Deutschland lebender Touristen, am Goldtrand gestiegen ist.

Aufgabe 3

Arthur behauptet, dass wenn er Fremden zulächelt 50% zurück lächeln. Jonas, ein Freund von Arthur, fragt sich, ob das stimmt. Deshalb wollen sie ein Signifikanztest durchführen. Arthur soll 1000 Menschen anlächeln. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5 % fest.
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und bestimme die Entscheidungsregel
b) Von den 1000 Menschen haben 531 zurückgelächelt. Arthur behauptet, dass somit bewiesen ist das seine Aussage wahr ist. Nimm zu dieser Aussage Stellung.

a) 1. Schritt:$H_0:p=0,5$ und $H_1:p\neq0,5$
2. Schritt $n=1000$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die zurückgelächelt haben. X ist $B_{1000;0,5}- verteilt$
4. Schritt: 1.) $P(X\leq kr)\leq 0,025$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=468.
2.) $P(X\leq kr-1)\geq0,975$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=532.
Annahmebereich: {469,...531}.
Verwerfungsbereich: {0,..468}$\cup${532,.., 1000}.
b) 531 liegt zwar im Annahmebereich. Aber über Ergebnisse die im Annahmebereich liegen, kann keine Aussage getroffen werden. Arthur kann durch den Test nicht zeigen, dass der Wert 50% gilt.