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| == Die h-Schreibweise ==
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| Für diesen Abschnitt haben Sie 90 Minuten Zeit.
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| Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir in diesem Abschnitt noch eine andere Schreibweise für den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten.
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| === Die h-Schreibweise des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten ===
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| Anstatt beim Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
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| {{Box|1=Aufgabe 14|2=
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| a) Überlegen Sie, wo in der folgenden '''[https://www.geogebra.org/m/aSYZe7F2 Zeichnung]''' die Größen <math>h</math>, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>, <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> zu finden sind.<br>
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| b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt A(x<sub>0</sub><nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)) und den Punkt B(x<sub>0</sub>+h<nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>+h)) gehen soll.<br>
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| c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h<nowiki>=</nowiki> 0 setzen würde.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Vollziehen Sie im [https://www.geogebra.org/m/KvWKDuKN Applet] den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?
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| Sekantensteigung: <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| Wenn man h<nowiki>=</nowiki> 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 15|2=
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| Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
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| Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Sie können hierzu die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners verwenden; schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)
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| Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus den Aufgaben 9 und 10.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
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| Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
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| <br>
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| {{{!}} class="wikitable center"
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| !'''n''' !! '''h''' !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
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| {{!}}-
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| {{!}} 0 {{!}}{{!}} 1 {{!}}{{!}} 2 {{!}}{{!}} 3
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| {{!}}-
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| {{!}} 1 {{!}}{{!}} 0,1 {{!}}{{!}} 1,1 {{!}}{{!}} 2,1
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| {{!}}-
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| {{!}} 2 {{!}}{{!}} 0,01 {{!}}{{!}} 1,01 {{!}}{{!}} 2,01
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| {{!}}-
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| {{!}} 3 {{!}}{{!}} 0,001 {{!}}{{!}} 1,001 {{!}}{{!}} 2,001
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| {{!}}-
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| {{!}} 4 {{!}}{{!}} 0,0001 {{!}}{{!}} 1,0001 {{!}}{{!}} 2,0001
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| {{!}}-
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| {{!}} 5 {{!}}{{!}} 0,00001 {{!}}{{!}} 1,00001 {{!}}{{!}} 2,00001
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| {{!}}}
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 16|2=
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| Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math> f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| === Die Berechnung von Ableitungen ===
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| Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x<sub>0</sub>) einer Funktion f an einer Stelle x<sub>0</sub> berechnen.
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| {{Box|1=Aufgabe 17|2=
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| Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben. Schreiben Sie die Rechnungen auch in Ihr Heft.
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung 1]
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2]
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1='''Beispielaufgabe'''|2=
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| Betrachtet wird die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).
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| <br>
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| * Die Ableitung an der Stelle x<nowiki>=</nowiki>100 wird wie folgt berechnet:
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| {{Lösung versteckt|1=
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| :<math>f'(100)= \lim_{h\to 0} \frac{f(100+h)-f(100)}{h}</math><br>
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| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100+h)^2-0,002 \cdot 100^2}{h}</math><br>
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| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (100^2+2 \cdot 100h+h^2-100^2)}{h}</math> <br>
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| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot 100h+h^2)}{h}</math> <br>
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| :::<math>= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot 100+h \right)=0,004 \cdot 100 = 0,4</math><br>
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| }}
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| * Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x<nowiki>=</nowiki>x<sub>0</sub> bestimmen:
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| {{Lösung versteckt|1=
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| :<math>f'(x_0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math><br>
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| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0+h)^2-0,002 \cdot x_0^2}{h}</math><br>
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| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (x_0^2+2 \cdot x_0 \cdot h+h^2-x_0^2)}{h}</math> <br>
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| :::<math>= \lim_{h\to 0} \frac{0,002 \cdot (2 \cdot x_0 \cdot h+h^2)}{h}</math> <br>
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| :::<math>= \lim_{h\to 0} 0,002 \cdot \left( 2 \cdot x_0+h \right)=0,004 \cdot x_0</math><br>
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 18|2=
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| # Bestimmen Sie mit Hilfe des [https://www.geogebra.org/m/ZCh8hVMX Applets], wie weit das Fahrzeug im Barringer-Krater kommt.
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| # Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Fahrzeug kommt.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1=Differenzieren|2=
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| Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>t<sub>0</sub>.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 19|2=
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| # Variieren Sie die Stelle x<sub>0</sub> im [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Applet] und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
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| # Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br><br>
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| {{Box|1=Merke|2=
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| Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x<sub>0</sub> ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man die '''Funktion f´(x)''', die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte '''Ableitungsfunktion'''.<br>
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| Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.
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| |3=Merksatz}}
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| <br>
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| '''Hausaufgabe:'''
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| Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=3x<sup>2</sup>+1 an der Stelle x=2 und an der Stelle x<sub>0</sub>.
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| <br>
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| {{Lösung versteckt|1=
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| f'(2)=12 und f'(x<sub>0</sub>)=6x<sub>0</sub>
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| }}
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| ===Üben und Vertiefen===
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| Bearbeiten Sie zwei der drei Aufgaben. Die Anzahl der * gibt den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben an.
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| {{Box|1= Aufgabe 20 *|2=
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| * Seite 133/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
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| * Seite 51/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
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| * Seite 48/3b (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 21 **|2=
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| * Seite 133/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
| |
| * Seite 51/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
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| * Seite 52/4 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 22 ***|2=
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| * Seite 133/5a (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
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| * Seite 51/5a (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
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| * Seite 48/10 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| '''Testen'''
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| Sie sollten nach dem Test sagen können:
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| Ich kann die Ableitungsfunktionen für quadratische Funktionen und kubische Funktionen mit Hilfe des Grenzprozesses des Übergangs vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten berechnen.
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| ''Aus technischen Gründen werden in den Aufgaben an manchen Stellen eckige Klammern verwendet statt der sonst in diesem Zusammenhang üblichen runden Klammern.''
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| <div class="zuordnungs-quiz">
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| 1) Ordnen Sie die Formeln richtig den Oberbegriffen zu.
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| {|
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| | Differenz der x-Werte || <math>\Delta x</math> || <math>x_1-x_0</math> || h
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| |-
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| | Differenz der Funktionswerte || <math>\Delta y</math> || <math>f(x_1)-f(x_0)</math> || <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math>
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| |}
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| </div>
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| <br>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| 2a)
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| Welchen Wert hat h für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x<sub>0</sub>=1 und x<sub>1</sub>=1,1? (!1) (0,1) (!2) (!1,1) (!3) (!0,01) (!2,1)
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| 2b)
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| Welchen Wert hat <math>f(x_0+h)</math> für die Funktion f(x)=x² im Intervall für x<sub>0</sub>=2 und h=0,1? (!2) (!4) (!1) (!0,01) (4,41) (!4,1) (!2,1) (!0,1) (!4,01)
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| 2c) Was gibt h in der Formel <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> an?
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| (!Um wie viele Einheiten sich der Funktionswert zwischen den Stellen x<sub>0</sub> und x<sub>0</sub>+h verändert.)(!Die Differenz der Funktionswerte.) (Die Differenz der x-Werte.) (!Die Steigung.)
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| 2d) Wir betrachten die Funktion f[x]=0,2x³+x. Mit welcher Berechnung kann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 am besten angenähert werden? (<math>\frac{f[2,0001]-f[2]}{0,0001}</math>) (!<math>\frac{0,0001}{f[2,0001]-f[2]}</math>) (!<math>\frac{f[2,001]-f[2]}{0,001}</math>)(!<math>\frac{0,001}{f[2,001]-f[2]}</math>) (!<math>\frac{f[2,01]-f[2]}{0,01}</math>)(!<math>\frac{0,01}{f[2,01]-f[2]}</math>)
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| </div>
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| Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.
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