Grenzwerte spezieller Funktionen

Lernpfad

Willkommen beim Lernpfad zur Bestimmung der Grenzwerte der bisher bekannten Funktionstypen

In der aktuellen Unterrichtseinheit geht es um die Untersuchung des Verhaltens von Funktionen im Unendlichen. In diesem Lernpfad sollst du selbständig das Verhalten der bisher bekannten Funktionen (Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, ganzrationale Funktionen und gebrochenrationale Funktionen) für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte untersuchen und festhalten.

Voraussetzungen

• Du kennst die Grundform sowie die wichtigsten Eigenschaften der folgenden Funktionen und kannst ihren Verlauf beschreiben und skizzieren: Exponentialfunktion, Sinusfunktion, ganzrationale Funktion, gebrochenrationale Funktion.

• Du weißt, was der Grenzwert einer Funktion ist und kennst die Schreibweise: $\lim_{x\to\infty} f(x)$
• Die Begriffe Konvergenz und Divergenz sind dir geläufig und du erkennst am Verlauf eines Graphen, wann das Jeweilige vorliegt.

Ziele

• Du kannst das Verhalten der Grundformen der Funktionen für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte beschreiben und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.

• Du kannst die Grenzwerte verschiedener Funktionen anhand des Funktionsterms bestimmen.

Hinweise zur Bearbeitung

• Behandle die Aufgaben der Reihe nach.

• Notiere dir selbständig die gewonnenen Erkenntnisse zu den Grenzwerten der jeweiligen Funktionen in dein Heft.

• Die Lösungen am Ende jeder Aufgabe können dir dabei helfen. Nutze sie möglichst nur, um deine Ergebnisse zu überprüfen.

Exponentialfunktionen

Verhalten im Unendlichen der Grundform $f(x)=a^{x}$, a>0

Aufgabe

Untersuche die Funktion $f(x)=a^{x}$ mit Hilfe des Schiebereglers a und beantworte die Fragen.

a) Welche zwei Fälle müssen für a unterschieden werden?

b) Gib die Grenzwerte $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ und $\lim_{x\to\infty} f(x)$ in Abhängigkeit von a an.

---

a) Fall1: a>1, Fall2: 0<a<1

b)

• a > 1: $\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$ und $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$

• 0 < a < 1: $\Rightarrow$ $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty$ und $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

Verhalten im Unendlichen der Form $f(x)=b\cdot a^{x}+d$, mit $b, d\in \mathbb{R}$

Aufgabe

Untersuche die Funktionen $f(x)=b\cdot2,5^{x}+d$ und $f(x)=b\cdot0,3^{x}+d$ mit Hilfe der Schieberegler b und d und beantworte die Fragen.

a) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von b auf den Verlauf des Graphen?

b) Welchen Einfluss hat d auf den Verlauf des Graphen?

c) Was kannst du über die waagrechte Asymptote in Abhängigkeit von b und d sagen? Begründe!

---

a) Ein negatives Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse.

b) Je nach Vorzeichen von d wird der Graph noch oben (d>0) oder nach unten (d<0) verschoben.

c) b hat keinen Einfluss auf die waagrechte Asymptote, denn das Grenzwertverhalten ist nur vom Faktor $a^{x}$ abhängig.

Es gilt für die waagrechte Asymptote $y = d$, denn $\lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} = 0$ also $\lim_{x\to-\infty} b \cdot a^{x} +d = 0 + d = d$, a > 1 (Analog für 0< a < 1)

Aufgaben

Aufgabe

1. Gib die Grenzwerte $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ und $\lim_{x\to\infty} f(x)$ der folgenden Funktionen an.

a) $f(x)=0,7^x$

b) $f(x)=7^x$

c) $f(x)=5\cdot 0,3^x$

d) $f(x)=-0,5^x$

e) $f(x)=-2\cdot 0,7^x$

f) $f(x)=4,1^x+1$

g) $f(x)=0,4^x-3$

h) $f(x)=5-1,5\cdot 3^x$

a) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

b) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=0$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$

c) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

d) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

e) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

f) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=1$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$

g) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\infty$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=-3$

h) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=5$, $\lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty$

Ganzrationale Funktionen

Das Grenzwertverhalten von ganzrationalen Funktionen wurde im vorherigen Kapitel bereits untersucht. Vgl. Lernpfad Eigenschaften ganzrationaler Funktionen bzw. Datei: Lösung AB.pdf

Aufgabe

a) Wiederhole noch einmal die Erkenntnisse zum Grenzwertverhalten der Funktionen aus dem letzten Kapitel.

b) Übersetze die Ergebnisse in die mathematische Schreibweise.

a) vgl. Kapitel 5.2 oder Lernpfad zum Verhalten ganzrationaler Funktionen

b) In Abhängigkeit des Summanden mit der höchsten Potenz gilt $\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=\pm \infty$, sie sind also in beide Richtungen bestimmt divergent.

Trigonometrische Funktionen

Aufgabe

Betrachte die Verläufe der beiden trigonometrischen Funktionen f(x) = sinx und g(x) = cosx.

a) Welches Grenzwertverhalten weisen die beiden Funktionen auf?

a) Haben Veränderungen der Parameter einen Einfluss auf das Grenzwertverhalten?

a) Sie sind in beide Richtungen unbestimmt divergent.

b) Nein!

Übungsaufgaben

Aufgabe

1. Bestimme die Grenzwerte für $x\rightarrow \pm \infty$ der folgenden Funktionen und begründe deine Antwort.

a) $f(x) = 1 + 0,5^{-x}$

b) $g(x)=\frac{1}{x^{3}} - 3$

c) $h(x)=(x+3)^{4}-1$

d) $f(x)=0,7^{x}-\frac{7}{x}$

e) $f(x)=2cos(x-3)$

f) $g(x)=4^{x} + 4^{-x}$

g) $g(x)=4^{x} - 4^{-x}$

Aufgabe

2. Ordne zu!

a) b) c) d) e) f) g)

a) $m(x)=\frac{x^{2}+1}{2x}$ b) $k(x)=-2x^{3}+3x+1$ c) $h(x)=sin(4x)+1$ d) $l(x)=(3-x)^{4}$ e) $g(x)=3-2,5^{x}$ f) $f(x)=\frac{x-1}{x-1,5}$ g) $i(x)=0,3^{x}-2$

Vertiefende Aufgaben

Aufgabe

3. Untersuche die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}cosx$ mit Geogebra.

a) Bestimme die Grenzwerte mit Hilfe der Zeichnung.

b) Begründe deine Ergebnisse unabhängig von der Zeichnung.

c) Wie verändern sich die Ergebnisse für $f(x)=\cos(\frac{1}{x})$? Begründe.

a) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

b) f(x) ist das Produkt der Funktionen $g(x)=\frac{1}{x}$ und $h(x)=sinx$. Es gilt $\lim_{x\to-\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=0$, h(x) liegt immer zwischen -1 und 1. Daher konvergiert das Produkt aus beiden Funktion für $x\rightarrow \infty$ gegen 0.

c) $\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=1$, denn $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0$ und $cos(0)=1$.

Aufgabe

4. Untersuche die Funktionen $f(x)=\frac{1}{x}2^{x}$ und $g(x)=x2^{x}$.

a) Bestimme die Grenzwerte $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ und $\lim_{x\to\infty} g(x)$

b) In welchen Fällen ist eine korrekte Begründug schwierig? Was ist die Ursache?

a) f(x): $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$ und $\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0$. Daher gilt $\lim_{x\to-\infty} f(x)=0\cdot0=0$

g(x): $\lim_{x\to\infty}x=\infty$ und $\lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty$. Daher gilt $\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty\cdot\infty=\infty$

b) f(x): $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$ und $\lim_{x\to\infty}2^{x}=\infty$. Damit gilt $\lim_{x\to\infty} f(x)=0\cdot\infty=\infty$  !???

g(x): $\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ und $\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0$. Damit gilt $\lim_{x\to-\infty} g(x)= -\infty\cdot0=0$  !???

Aufgabe

5: Gegeben ist die Funktion Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle f(x)=cos(\frac{1^}{x^{2}})^{x^{2}}}

a) Welche Grenzwerte würdest du erwarten?

b) Überprüfe deine Ergebnisse mit einer Zeichnung (z.B. mit GeoGebra).

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