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Lernschritt Normalparabel strecken und spiegeln

• In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verändert wird, wenn man in ihrem Funktionsterm $x^2$ mit einem konstanten Faktor $a$ multipliziert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen $g(x)=2 \; x^2$, $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ genauer betrachtet.

1. Aufgabe Wertetabelle

1. Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=2 \; x^2$, $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.
2. Vergleiche die y-Werte der Funktionen $g$, $h$ und $i$ spaltenweise mit den y-Werten der Funktion $f$. Was stellst du dabei fest?

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$
$g(x)=2 \; x^2$
$h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$
$i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2$

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$	9	4	1	0	1	4	9
$g(x)=2 \; x^2$	18	8	2	0	2	8	18
$h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25
$i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2$	-2,25	-1	-0,25	0	-0,25	-1	-2,25

Die y-Werte der Funktion $g$ sind bei gleichem x-Wert doppelt so groß wie die bei der Normalparabel, die y-Werte nur ein Viertel so groß. Die y-Werte der Funktion $i$ unterscheiden sich von denjenigen der Funktion $h$ nur durch das negative Vorzeichen.

2. Aufgabe

QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf

1. In der Abbildung "QF04 Abbildung 1" sind vier Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet, einer als Strich-Punkt- und einer als durchgezogene Linie. Ordne diese Graphen den Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=2 \; x^2$, $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ zu und begründe deine Zuordnung.
2. Beschreibe, durch welche graphische Operation die Graphen von $g$, $h$ und $i$ jweils aus der Normalparabeln entstehen.

1. Die durchgezogene Linie ist eine Normalparabel, also der Graph der Funktion $f(x)=x^2$. Dies erkennt man u.a. an den Treppen-Punkten in der Tabelle.
   Die gepunktete Linie oberhalb der Normalparabel ist der Graph von $g(x)=2 \; x^2$. Dies erkennt man z.B. an den Punkten $(1|2)$ und $(-1|2)$, die auf diesem Graphen liegn.
   Die gestrichelte Linie ist der Graph der Funktion $h$, leicht zu identifizieren mithilfe der Punkte $(2|1)$ und $(-2|1)$.
   Die Strich-Punkt-Linie verläuft vollständig unterhalt der x-Achse und gehört daher zu der Funktion $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$, bei der alle y-Koordinaten negativ sind.
2. Der Graph der Funktion $g(x)=2 \; x^2$ entsteht, indem man die Normalparabel in y-Richtung um den Faktor 2 streckt, der Graph von $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$, indem man sie um den Faktor $\frac{1}{4}$ in y-Richtung staucht. Den Graphen von $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$, erhält man, wenn man den Graphen von $h$ an der x-Achse spiegelt, also durch eine Stauchung und x-Achsenspiegelung der Normalparabel.

3. Aufgabe $f(x) =a\;x^2$

Beschreibe mit eigenen Worten, welchen Einfluss der Parameter $a \in \mathbb{R}$ auf den Graphen der Funktion $f(x) =a\; x^2$ hat. Unterscheide dabei folgende Fälle:

1. $a > 1$
2. $a = 1$
3. $0 < a < 1$ (a liegt zwischen 0 und 1)
4. $a = 0$
5. $-1 < a < 0$ (a liegt zwischen -1 und 0)
6. $a = -1$
7. $a < -1$

Die Lösung findest du in der folgenden Zusammenfassung.