Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel

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Lernpfad Normalparabel

Funktionenmaschine

Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: $5^2 = 5\cdot 5 = 25$. Man kann die Arbeitsweise der Quadriermaschine sehr einfach mithilfe einer Rechenvorschrift beschreiben: $y = x^2$. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: $f(x) = x^2$. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "$f$") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: $f(5) = 5^2$.

Wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen

Argument $x$

x-Wert, input der Funktion

Funktionswert $f(x)$

y-Wert, output der Funktion

Funktionsterm $x^2$

Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte

Funktionsgleichung $f(x)=x^2$

Gleichung, die das Verhalten der Funktion rechnerisch beschreibt

Wertetabelle

Eine weitere Möglichkeit, die Arbeitsweise einer Funktion zu beschreiben, ist die Wertetabelle. Für eine Reihe von x-Werten wird jeweils der entsprechende y-Wert $f(x)$ berechnet und in einer Tabelle dem x-Wert gegenübergestellt.

Für die Funktion $f(x)=x^2$ kann man z.B. die Wertetabelle aufstellen:

Tabelle 1: $f(x)=x^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	9	4	1	0	1	4	9

Funktion als "eindeutige Zuordnung"

Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man den gleichen x-Wert in eine Funktionsmaschine hineinsteckt, z.B. den Wert $x=3$ in die Funktion $f(x) =x^2$, dann produziert diee daraus auch immer den gleichen y-Wert - in diesem Beispiel den Wert $y=9$.
Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert, z.B. $y=9$ kann der Funktionswert von zwei verschiedenen x-Werten sein, nämlich von $x=-3$ und von $x=3$. Denn $f(-3)=(-3)^2 = 9$ ("Minus mal minus ergibt plus.") und $f(3) = 3^2 = 9$ (vergleiche Wertetabelle) .

In der Tabelle 1 sind alle x-Werte ganze Zahlen. Es können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte vorkommen.

Aufgabe: Vervollständige die Tabelle 2 für die Funktion f(x)=x^2 und positive x-Werte. Tipp: Arithmico

Tabelle 2:

x: 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 f(x)=x^2 : 0,25 2,25 6,25

Lösung x: 0,25 0,5 0,75 1,25 1,5 1,75 2,25 2,5 f(x)=x^2 : 0,25 0,56 1,56 2,25 3,06 5,06 6,25

Funktionsgraph Man kann die Arbeitsweise einer Funktion anschaulich durch einen Funktionsgraphen darstellen. Dazu fasst man die Wertepaare (x ; f(x)) aus der Wertetabelle als Punkte (x | y) im Koordinatensystem auf.

Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form y = m*x +b besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf einer Geraden liegen. Jetzt soll untersucht werden, wie das bei der Funktion f(x)=x^2 aussieht.

Aufgabe: Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 als Punkte in eine Koordinatensystem ein. Füge einige beliebgige weitere Punkte deiner Wahl hinzu. Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion f(x)=x^2 aus - also die Menge aller Punkte (x | x^2) im Koordinatensystem? Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen.

Lösung: Je mehr Punkte man berechnet und einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte (x|x^2) zu einer gekrümmten Linie. Die Krümmung ist in der Nähe des Ursprungs am größten. Der Graph verläuft im 1. und 2. Quadranten, aber nicht im 3. und 4. Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.

Diese wird als "Normalparabel" bezeichnet und ist der Graph der quadratischen Funktion f(x)=x^2.

Aufgabe "Graphisches Quadrieren"

Lies für folgende x-Werte ihr Quadrat "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach. a) x=2,7 b) x=0,2 c) x=1,8 Tipp: Arithmico

Aufgabe "Graphisches Wurzelziehen"

Lies für folgende y-Werte ihre Quadratwurzel "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach. a) y=1,44 b) y=6,25 c) y=2 Tipp: Arithmico

Zur Erinnerung: Definition der "Quadratwurzel" Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat a ist. Man bezeichnet diese Zahl als \sqrt{a}. Allgemein: Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: \sqrt{0} = 0.

Beachte: Die Gleichung x^2 = 9 besitzt zwar zwei Lösungen, nämlich x_1 = -3 und x_2 = 3. Aber nur die positive dieser beiden Lösungen wird als "Quadratwurzel aus 9" \sqrt{9} (oder kurz "Wurzel aus 9") definiert.

Die Form der Normalparabel

Info: Der tiefste Punkt der Normalparabel (0|0) wird als ihr Scheitelpunkt bezeichnet. Der "rechte Ast" der Normalparabel verläuft rechts vom Scheitelpunkt (für positive x-Werte) im 1. Quadranten des Koordinatensystems. Der "linke Ast" verläuft (für negative x-Werte) links vom Scheitelpunkt im 2. Quadranten. Im 3. und 4. Quadranten verläuft die Normalparabel gar nicht.

Aufgabe: Begründe rechnerisch: Die Normalparabel verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse. Allgemein: Alle Funktionsgraphen, die die Bedingung f(x) =f(-x) erfüllen, verlaufen achsensymmetrisch zur y-Achse.

Lösung: Man wählt einen beliebigen Punkt P(x|x^2) auf dem rechten Parabelast und geht von dort aus auf dem kürzesten Weg, also parallel zur x-Achse, auf die y-Achse zu. Man trifft im Punkt Q(0|x^2) auf die y-Achse. Die Länge der Strecke PQ ist x. Verlängert man nun PQ um die gleiche Länge noch einmal in gleicher Richtung, so landet man im "Spiegelpunkt" P'(-x|x^2). Dieser liegt aber ebenfalls auf der Normalparabel, denn f(-x) = x^2. Allgemein: Die Gleichung f(x) = f(-x) drückt aus, dass es zu jedem Punkt P(x|f(x)) auf der rechten Seite des Graphen von f einen Punkt P'(-x|f(x)) mit gleichem Abstand zu den Achsen auf der linken Seite gibt und umgekehrt. Alle Funktionsgraphen, deren Funktionsgleichung die Bedingung f(x) =f(-x) erfüllen, verlaufen daher achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Parabel-Treppe Folge der ungeraden Zahlen

Mathematikum: u * v am Parabelrechner https://mathothek.de/katalog/der-parabelrechner-er-ist-keine-konkurenz-fuer-den-taschenrechner/

Stifte in den Parabelpunkten mit ganzzahligen Koordinaten (-10|100), (-9|

Gerade g(x) =mx +b durch U(u|u^2) und V(v|v^2): m= (v^2 -u^2)/(v-u) = (v+u)(v-u)/(v-u) = v+u g(v) = (v+u)*v +b = v^2 v^2 + u*v +b = v^2 -u*v = b