Benutzer:Ukalina/Arithmico 2.24 Anleitung/Ableitung und Integral

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8 Ableitung einer Funktion an einer festen Stelle

nderive(f(x); x; g?)

berechnet die Ableitung der Funktion f an der Stelle x. Wenn der Grad g nicht angegeben wird, dann wird die erste Ableitung berechnet.

8.1 Ableitung einer Polynomfunktion

Beispiel 8.1.1 Steigung der Normalparabel an der Stelle 3

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2$. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 3, also $f '(3)$.

Eingabe: f(x) := x^2

Ausgabe: (x: any) → x^2

Eingabe: nderive(f ; 3)

Ausgabe: 6

oder kürzer:

Eingabe: nderive((x)->(x^2); 3)

Ausgabe: 6

8.2 Ableitung der e-Funktion

Beispiel 8.2.1 Steigung der e-Funktion an der Stelle 1

Gegeben ist die Funktion $f(x) = e^x$. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 1, also $f '(1)$.

Eingabe: nderive((x)->e^x; 1)

Ausgabe: 2,71828

8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

Beispiel 8.3.1 Steigung der natürlichen Logarithmusfunktion an der Stelle 4

Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $f(x) = ln(x)$ an der Stelle 4, also $f '(4)$.

Eingabe: nderive((x)->ln(x); 4)

Ausgabe: 0,25

8.4 Ableitung der Sinus-Funktion

Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion $f(x) = sin(x)$ an der Stelle $\frac{\pi}{4}$, also $f '(\pi /4)$.

Eingabe: nderive((x)->sin(x); pi /4)

Ausgabe: 0,70711

9 Bestimmtes Integral

nintegrate(f; u; v)

berechnet das bestimmte Integral $\int_u^v f(x)\; dx$der Funktion f mit der Untergrenze u und der Obergrenze v.

9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion

Beispiel 9.1.1 Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^3$ Berechne das bestimmte Integral $\int_0^1 x^3 dx$.

Eingabe: nintegrate(x -> x^3; 0; 1)

Ausgabe: 0,25

oder

Eingabe: f(x):=x^3

Eingabe: nintegrate(f; 0; 1)

Ausgabe: 0,25

9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion

Beispiel 9.2.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^\pi sin(x) dx .

Eingabe: nintegrate(x -> sin(x); 0; pi)

Ausgabe: 2

9.3 Bestimmtes Integral über einer Exponentialfunktion

Beispiel 9.3.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^1 e^x dx .

Eingabe: nintegrate(x -> e^x; 0; 1)

Ausgabe: 1,71828

Beispiel 9.3.2 \int_0^\infty e^(-x) dx soll näherungsweise berechnet werden. Dazu wird die obere Integralgrenze mit b = 20 so gewählt, dass

der Funktionswert e^(-b) = e^(-20)

= 2,06115 * 10^(-9) dicht bei 0 liegt.

Eingabe: nintegrate((x) -> e^(-x);0;20)

Ausgabe: 1 Ableitung einer Funktion an einer festen Stelle

nderive(f(x); x; g?) Ableitung der Funktion f an der Stelle x. Wird der Grad g nicht angegeben, wird die erste Ableitung berechnet.

8.1 Ableitung einer Polynomfunktion

Beispiel 8.1.1 Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 3, also f '(3).

Eingabe: f(x) := x^2

Ausgabe: (x: any) → x^2

Eingabe: nderive(f ; 3)

Ausgabe: 6

oder kürzer:

Eingabe: nderive((x)->(x^2); 3)

Ausgabe: 6

8.2 Ableitung der e-Funktion

Beispiel 8.2.1 Gegeben ist die Funktion f(x) = e^x. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 1, also f '(1)

Eingabe: nderive((x)->e^x; 1)

Ausgabe: 2,71828

8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

Beispiel 8.3.1 Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) an der Stelle 4, also f '(4)

Eingabe: nderive((x)->ln(x); 4)

Ausgabe: 0,25

8.4 Ableitung der Sinus-Funktion

Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion

f(x) = sin(x) an der Stelle \pi /4 , also f '(\pi /4)

Eingabe: nderive((x)->sin(x); pi /4)

Ausgabe: 0,70711

9 Bestimmtes Integral

nintegrate(f(x); u; v) Berechne das bestimmte Integral der Funktion f mit Untergrenze u und Obergrenze v.

9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion

Beispiel 9.1.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^1 x^3 dx .

Eingabe: nintegrate(x -> x^3; 0; 1)

Ausgabe: 0,25

oder

Eingabe: f(x):=x^3

Eingabe: nintegrate(f; 0; 1)

Ausgabe: 0,25

9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion

Beispiel 9.2.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^\pi sin(x) dx .

Eingabe: nintegrate(x -> sin(x); 0; pi)

Ausgabe: 2

9.3 Bestimmtes Integral über einer Exponentialfunktion

Beispiel 9.3.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^1 e^x dx .

Eingabe: nintegrate(x -> e^x; 0; 1)

Ausgabe: 1,71828

Beispiel 9.3.2 \int_0^\infty e^(-x) dx soll näherungsweise berechnet werden. Dazu wird die obere Integralgrenze mit b = 20 so gewählt, dass

der Funktionswert e^(-b) = e^(-20)

= 2,06115 * 10^(-9) dicht bei 0 liegt.

Eingabe: nintegrate((x) -> e^(-x);0;20)

Ausgabe: 1