Benutzer:Ukalina/Arithmico 2.24 Anleitung/Ableitung und Integral: Unterschied zwischen den Versionen
Benutzer:Ukalina/Arithmico 2.24 Anleitung/Ableitung und Integral
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==== 8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ==== | ==== 8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ==== | ||
=====Beispiel 8.3.1 Steigung der natürlichen Logarithmusfunktion an der Stelle 4===== | =====Beispiel 8.3.1 Steigung der natürlichen Logarithmusfunktion an der Stelle 4===== | ||
Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x)</math> an der Stelle 4, also <math>f '(4)</math>. | Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion <math>f(x) = ln(x)</math> an der Stelle 4, also <math>f '(4)</math>. | ||
:Eingabe: <code>nderive((x)->ln(x); 4)</code> | :Eingabe: <code>nderive((x)->ln(x); 4)</code> | ||
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==== 8.4 Ableitung der Sinus-Funktion ==== | ==== 8.4 Ableitung der Sinus-Funktion ==== | ||
Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion <math>f(x) = sin(x)</math> an der Stelle <math>\frac{\pi}{4}</math>, also <math>f '(\pi /4)</math>. | =====Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion <math>f(x) = sin(x)</math> an der Stelle <math>\frac{\pi}{4}</math>, also <math>f '(\pi /4)</math>.===== | ||
:Eingabe: <code>nderive((x)->sin(x); pi /4)</code> | :Eingabe: <code>nderive((x)->sin(x); pi /4)</code> | ||
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=== 9 Bestimmtes Integral === | === 9 Bestimmtes Integral === | ||
:<code>nintegrate(f; u; v)</code> | |||
::berechnet das bestimmte Integral der Funktion f mit der Untergrenze u und der Obergrenze v. | |||
==== 9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion ==== | ==== 9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion ==== | ||
Beispiel 9.1.1 Berechne das bestimmte Integral | =====Beispiel 9.1.1 Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=x^3</math> Berechne das bestimmte Integral <math>\int_0^1 x^3 dx </math>.===== | ||
:Eingabe: <code>nintegrate(x -> x^3; 0; 1)</code> | |||
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Eingabe: nintegrate(x -> x^3; 0; 1) | |||
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oder | oder | ||
Eingabe: f(x):=x^3 | :Eingabe: <code>f(x):=x^3</code> | ||
Eingabe: nintegrate(f; 0; 1) | :Eingabe: <code>nintegrate(f; 0; 1)</code> | ||
Ausgabe: 0,25 | :Ausgabe: <code>0,25</code> | ||
==== 9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion ==== | ==== 9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion ==== | ||
Version vom 14. September 2025, 12:40 Uhr
8 Ableitung einer Funktion an einer festen Stelle
nderive(f(x); x; g?)- berechnet die Ableitung der Funktion f an der Stelle x. Wenn der Grad g nicht angegeben wird, dann wird die erste Ableitung berechnet.
8.1 Ableitung einer Polynomfunktion
Beispiel 8.1.1 Steigung der Normalparabel an der Stelle 3
Gegeben ist die Funktion . Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 3, also .
- Eingabe:
f(x) := x^2 - Ausgabe:
(x: any) → x^2
- Eingabe:
nderive(f ; 3) - Ausgabe:
6
oder kürzer:
- Eingabe:
nderive((x)->(x^2); 3) - Ausgabe:
6
8.2 Ableitung der e-Funktion
Beispiel 8.2.1 Steigung der e-Funktion an der Stelle 1
Gegeben ist die Funktion . Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 1, also .
- Eingabe:
nderive((x)->e^x; 1) - Ausgabe:
2,71828
8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
Beispiel 8.3.1 Steigung der natürlichen Logarithmusfunktion an der Stelle 4
Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion an der Stelle 4, also .
- Eingabe:
nderive((x)->ln(x); 4) - Ausgabe:
0,25
8.4 Ableitung der Sinus-Funktion
Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle , also .
- Eingabe:
nderive((x)->sin(x); pi /4) - Ausgabe:
0,70711
9 Bestimmtes Integral
nintegrate(f; u; v)- berechnet das bestimmte Integral der Funktion f mit der Untergrenze u und der Obergrenze v.
9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion
Beispiel 9.1.1 Gegeben ist die Funktion Berechne das bestimmte Integral .
- Eingabe:
nintegrate(x -> x^3; 0; 1) - Ausgabe:
0,25
oder
- Eingabe:
f(x):=x^3
- Eingabe:
nintegrate(f; 0; 1)
- Ausgabe:
0,25
9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion
Beispiel 9.2.1 Berechne das bestimmte Integral
\int_0^\pi sin(x) dx .
Eingabe: nintegrate(x -> sin(x); 0; pi)
Ausgabe: 2
9.3 Bestimmtes Integral über einer Exponentialfunktion
Beispiel 9.3.1 Berechne das bestimmte Integral
\int_0^1 e^x dx .
Eingabe: nintegrate(x -> e^x; 0; 1)
Ausgabe: 1,71828
Beispiel 9.3.2 \int_0^\infty e^(-x) dx soll näherungsweise berechnet werden. Dazu wird die obere Integralgrenze mit b = 20 so gewählt, dass
der Funktionswert e^(-b) = e^(-20)
= 2,06115 * 10^(-9) dicht bei 0 liegt.
Eingabe: nintegrate((x) -> e^(-x);0;20)
Ausgabe: 1 Ableitung einer Funktion an einer festen Stelle
nderive(f(x); x; g?) Ableitung der Funktion f an der Stelle x. Wird der Grad g nicht angegeben, wird die erste Ableitung berechnet.
8.1 Ableitung einer Polynomfunktion
Beispiel 8.1.1 Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 3, also f '(3).
Eingabe: f(x) := x^2
Ausgabe: (x: any) → x^2
Eingabe: nderive(f ; 3)
Ausgabe: 6
oder kürzer:
Eingabe: nderive((x)->(x^2); 3)
Ausgabe: 6
8.2 Ableitung der e-Funktion
Beispiel 8.2.1 Gegeben ist die Funktion f(x) = e^x. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 1, also f '(1)
Eingabe: nderive((x)->e^x; 1)
Ausgabe: 2,71828
8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
Beispiel 8.3.1 Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) an der Stelle 4, also f '(4)
Eingabe: nderive((x)->ln(x); 4)
Ausgabe: 0,25
8.4 Ableitung der Sinus-Funktion
Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion
f(x) = sin(x) an der Stelle \pi /4 , also f '(\pi /4)
Eingabe: nderive((x)->sin(x); pi /4)
Ausgabe: 0,70711
9 Bestimmtes Integral
nintegrate(f(x); u; v) Berechne das bestimmte Integral der Funktion f mit Untergrenze u und Obergrenze v.
9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion
Beispiel 9.1.1 Berechne das bestimmte Integral
\int_0^1 x^3 dx .
Eingabe: nintegrate(x -> x^3; 0; 1)
Ausgabe: 0,25
oder
Eingabe: f(x):=x^3
Eingabe: nintegrate(f; 0; 1)
Ausgabe: 0,25
9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion
Beispiel 9.2.1 Berechne das bestimmte Integral
\int_0^\pi sin(x) dx .
Eingabe: nintegrate(x -> sin(x); 0; pi)
Ausgabe: 2
9.3 Bestimmtes Integral über einer Exponentialfunktion
Beispiel 9.3.1 Berechne das bestimmte Integral
\int_0^1 e^x dx .
Eingabe: nintegrate(x -> e^x; 0; 1)
Ausgabe: 1,71828
Beispiel 9.3.2 \int_0^\infty e^(-x) dx soll näherungsweise berechnet werden. Dazu wird die obere Integralgrenze mit b = 20 so gewählt, dass
der Funktionswert e^(-b) = e^(-20)
= 2,06115 * 10^(-9) dicht bei 0 liegt.
Eingabe: nintegrate((x) -> e^(-x);0;20)
Ausgabe: 1
