Erdbeben und Logarithmus/Logarithmische Skalen

Erdbeben und Logarithmus

1. Entstehung von Erdbeben
2. Erdbeben in Österreich
3. Stärke von Erdbeben
4. Der Logarithmus
5. Logarithmische Skalen
6. Verhalten bei einem Erdbeben
7. Tsunamis (Optional)
8. Abschluss

Info: Einstieg

Wir haben nun den Logarithmus aus der Sicht der Mathematik kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir herausfinden, warum er für die Angabe der Stärke von Erdbeben verwendet wird. Wiederholen wir zunächst die Definition der Magnitude.

Im folgenden Kapitel ist immer die Rede vom dekadischen Logarithmus ($\lg$). $M$ bezeichnet die Richter- oder Lokal-Magnitude und $A$ den Maximalausschlag eines Seismometers nach Wood und Anderson.

Merke: Definition der Richter-Magnitude

Die Richter-Magnitude oder Lokal-Magnitude ist nach Franz Embacher (2013) folgendermaßen definiert:

In einer Entfernung von 100 km vom Epizentrum wird der durch das Beben verursachte Maximalausschlag A eines Seismometers nach Wood und Anderson gemessen und in Mikrometer [...] angegeben. Dann ist

$M = \lg A,$

wobei lg der Logarithmus zur Basis 10 ist.

Wie kann man den Maximalausschlag $A$ in $100 \ km$ Entfernung in Mikrometer berechnen, wenn man die Lokal-Magnitude kennt?

$A = 10^{M}$

Warum kommt eine Steigerung der Lokal-Magnitude um eine Einheit einer Verzehnfachung des Ausschlags gleich?

$10^{M+1} = 10 \cdot 10^{M}$ bzw. $M+1 = \lg A + 1 = \lg A + \lg 10 = \lg (A \cdot 10).$

Auch die bei einem Erdbeben freigesetzte Energie ($E$) hängt exponentiell von $M$ ab:

$E \approx k \cdot 10^{\frac{3M}{2}}$ mit $k \approx 6 \cdot 10^{4} Joule.$

Somit ist sie näherungsweise proportional zu $A^{\frac{3}{2}}$ und somit zu

$10^{\frac{3M}{2}}=(10^{\frac{3}{2}})^{M} \approx 32^{M}.$

Steigt die Lokal-Magnitude um $1$, entspricht das also einer Ver-32-fachung der freigesetzten Energiemenge. Die Magnitude wird aus diesem Grund auch logarithmisches Maß genannt.

Aufgabe 15

Logarithmische Skalen

1. Lies dir die obige Info zum Thema Richter-Magnitude genau durch.
2. Nimm den Arbeitsplan (Aufgabe 15: Logarithmische Skalen) zur Hand.
3. Versuche, die folgenden Fragen durch eigene Überlegungen und Recherche im Internet stichwortartig am Arbeitsplan zu beantworten.
   1. Warum ist die Verwendung des Logarithmus bei der Richter-Skala sinnvoll?
   2. Wie kann man eine logarithmische Skala allgemein beschreiben?
   3. Wo werden Logarithmen bzw. logarithmische Skalen neben der Erdbebenthematik noch angewendet?
4. Erstelle mit den eben gesammelten Informationen über logarithmische Skalen eine SmartArt-Grafik in Microsoft Word (Falls du noch nie so etwas erstellt hast, klicke hier!). Das Layout kannst du selber wählen, deiner Kreativität sind keine Grenzen gesetzt.
5. Drucke die SmartArt-Grafik aus und klebe sie auf den Arbeitsplan zur entsprechenden Aufgabe.

Lösung: Aufgabe 15

Zu 1.: Die Richter-Skala liefert ein Beispiel für die Nützlichkeit des Logarithmus. Erdbeben können sowohl sehr kleine als auch extrem große Ausmaße annehmen. Würde man beispielsweise den Ausschlag $A$ für die Angabe der Stärke verwenden, hätte man große Unterschiede zwischen den einzelnen Werten. Daher ist die Anwendung des Logarithmus in diesem Fall sinnvoll.

Zu 2.: Möchte man sehr kleine zusammen mit sehr großen Daten übersichtlich darstellen, werden oft logarithmische Skalen gebraucht. Dabei werden nicht die Ausgangszahlen angegeben, sondern ihre Logarithmen. Bei einer logarithmischen Skala wird ein Wert $x$ immer im Abstand $\left\vert \log_{a} x \right\vert$ vom Anfangspunkt aufgetragen. Verwendet man beispielsweise den dekadischen Logarithmus, so unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende Werte um den Faktor $10$. Gleiche Abstände geben also jeweils gleiche Faktoren zwischen den Werten wieder.

Zu 3.: Logarithmen treten neben der Richter-Skala in weiteren Anwendungen auf. Der pH-Wert, der den sauren oder basischen

Charakter einer wässrigen Lösung angibt, der Schalldruckpegel eines Geräuschs, Sternhelligkeiten in der Astronomie oder Wellenlängen des Spektrums werden in logarithmischen Skalen gemessen.

Aufgabe 16

Richter-Skala A

Beantworte die folgenden Fragen mithilfe der Fähigkeiten, die du bis jetzt erworben hast. Am Arbeitsplan (Aufgabe 16: Richter-Skala A) hast du Platz dafür.

a) Welche Magnitude hat ein Beben, das einen (in $100 \ km$ Entfernung gemessenen) Ausschlag von $0,1 \ mm \ (= 100 \ \mu m)$ verursacht?

b) Welche Magnitude hat ein Beben, das einen (in $100 \ km$ Entfernung gemessenen) Ausschlag von $0,5 \ mm \ (= 500 \ \mu m)$ verursacht?

c) Welchen Ausschlag verursacht ein Beben der Stärke $3$ in $100 \ km$ Entfernung?

d) Welchen Ausschlag verursacht ein Beben der Stärke $5,5$ in $100 \ km$ Entfernung?

e) Gibt es Beben mit negativer Magnitude? (Diskutiere diese Frage mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler! )

Die Fragen und Antworten stammen leicht abgeändert von Embacher (2013).

a) $M = \lg 100 = 2$

b) $M = \lg 500 \approx 2,70$

c) $10^{3} \mu m = 1 000 \ \mu m = 1 \ mm$

d) $10^{5,5} \mu m = 316 227,766 \ \mu m \approx 316,23 \ mm$

e) Ja, das sind die Beben bzw. Bodenbewegungen, die einen kleineren Ausschlag als $1 \ \mu m$ verursachen.

Merke: Erweiterung der Definition der Richter-Magnitude

Richter definiert die Magnitude mittels Maximalausschlag in einer Entfernung von $100 \ km$ vom Epizentrum. In der Realität ist es jedoch nur selten der Fall, dass sich genau in dieser Entfernung ein Seismometer befindet. Darum muss der Ausschlag in Abhängigkeit von der Entfernung zum Epizentrum angegeben und durch einen Ausgleichswert dividiert werden. Die Lokal-Magnitude wird somit üblicherweise mit der Formel

$M = \lg \biggl( \frac{A(d)}{A_{0}(d)} \biggr)$

berechnet. $A(d)$ bezeichnet den Maximalausschlag in der Entfernung $d$ vom Epizentrum des Erdbebens. $A_{0}(d)$ steht für den Maximalausschlag verursacht von einem Beben der Magnitude $0$ in Entfernung $d$. Diese Funktion wird im Vorhinein regionenspezifisch bestimmt und steht im Fall eines Erdbebens für die Berechnung der Magnitude zur Verfügung.

Aufgabe 17

Richter-Skala B

Beantworte die folgenden Fragen gemeinsam mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler.
Am Arbeitsplan (Aufgabe 17: Richter-Skala B) habt ihr Platz dafür.

a) Wie groß ist $A_{0}(100 \ km)$?

b) Für eine bestimmte Region sei $A_{0}(d) = 10^{0,3 \Bigl( 1 - \frac{d}{100 \ km} \Bigr) }$. Nun ereignet sich ein Beben, das in $300 \ km$ Entfernung zu einem Ausschlag von $1 \ cm \ (= 10^{4} \mu m)$ führt. Wie groß ist die Magnitude?

c) Für eine bestimmte Region sei $A_{0}(d) = 10^{0,3 \Bigl( 1 - \frac{d}{100 \ km} \Bigr) }$. Nun ereignet sich ein Beben der Magnitude $5,2$. Wie groß ist der Seismometer-Ausschlag in $200 \ km$ Entfernung vom Epizentrum?

d) Zwei Erdbeben ereignen sich mit dem gleichen Epizentrum. In $250 \ km$ Entfernung ist der vom ersten Beben verursachte Ausschlag doppelt so groß wie der vom zweiten verursachte Ausschlag.
(1) In welchem Verhältnis stehen die Ausschläge der beiden Beben in einer Entfernung von $500 \ km$?
(2) Was lässt sich über die Magnituden der beiden Beben sagen?

Die Fragen und Antworten stammen leicht abgeändert von Embacher (2013).

a) $M = 0 \Rightarrow 10^0 = 1$. Der Ausschlag beträgt $1 \ \mu m$.

b) $M = \lg \biggl( \frac{A(300 \ km)}{A_{0}(300 \ km)} \biggr) = \lg \biggl( \frac{10^{4}}{10^{0,3(1-3)}} \biggr) = 4,6$

c) $M = \lg \biggl( \frac{A(d)}{A_{0}(d)} \biggr) \Leftrightarrow 10^{M} = \frac{A(d)}{A_{0}(d)} \Leftrightarrow$ $A(d) = 10^{M} \cdot A_{0}(d)$,
$A(200 \ km) = 10^{5,2} \cdot A_{0}(200 \ km) = 10^{5,2} \cdot 10^{0,3(1-2)} =$ $10^{5,2 - 0,3} \approx 8 \cdot 10^{4} \mu m = 8 \ cm$.

d)
(1) Die Ausschläge stehen im gleichen Verhältnis wie bei der Entfernung von $250 \ km$ (siehe (2)).
(2) Wir wissen bereits, dass $A(d) = 10^{M} \cdot A_{0}(d)$. Für das erste Beben ist $A_{1}(d) = 10^{M_{1}} \cdot A_{0}(d)$ und für das zweite Beben ist $A_{2}(d) = 10^{M_{2}} \cdot A_{0}(d)$. Der vom ersten Beben verursachte Ausschlag ist doppelt so groß wie der vom zweiten: $A_{1}(d) = 2 \cdot A_{2}(d)$. Somit folgt unabhängig von $d$, dass $2 = \frac{A_{1}(d)}{A_{2}(d)} = \frac{10^{M_{1}} \cdot A_{0}(d)}{10^{M_{2}} \cdot A_{0}(d)} = 10^{M_{1} - M_{2}}$. Daher ist $M_{1} - M_{2} = \lg 2 \approx 0,30$. Die Magnitude des ersten Bebens ist um $0,3$ größer als jene des zweiten.
Ist ein Beben in einer bestimmten Entfernung – gemessen am verursachten Ausschlag – um einen bestimmten Faktor stärker als ein anderes mit dem gleichen Epizentrum, so gilt dies für jede Entfernung!

Merke: Weitere Skalen

Die Magnitude bzw. die freigesetzte Energiemenge ist nicht zwingend eine aussagekräftige Größe für die Zerstörung infolge eines Erdbebens. Faktoren wie die Beschaffenheit des Bodens, die Besiedlungsdichte oder die Verwundbarkeit (Vulnerabilität) der Bevölkerung beeinflussen die Auswirkungen an der Erdoberfläche. Es wurden daher weitere Skalen entwickelt, welche Erdbeben nach ihrer Zerstörungswirkung klassifizieren. Diese nennt man Intensitätsskalen. Die Mercalli-Skala oder die Europäische Makroseismische Skala sind Beispiele davon.

Im folgenden Videoausschnitt wir die Mercalli-Skala kurz vorgestellt.

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Der Logarithmus

Verhalten bei einem Erdbeben