Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining - Signifikanztest

Super! Jetzt hast du alle wichtigen Inhalte wiederholt und trainiert. Jetzt solltest du in der Lage sein, mögliche Klausuraufgaben zu lösen. Viel Spaß!

Aufgabe 1

Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartpohnehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 6% weniger fehlerhaft sind. In einem linksseitigen Test mit 100 zufällig entnommenen Smartphones, soll die Nullhypothese " Der Anteil der defekten Smartphones beträgt 6%" auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden.

a) Bestimme den Verwerfungsbereich für den Test.
b) Beschreibe die zugehörigen Fehlerarten im Sachzusammenhang.

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a) 1. Schritt:$H_0:p=0,06$ und $H_1:p<0,06$
2. Schritt: n=100 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist $B_{100,0.06}$- verteilt.
4. Schritt: $P(X\leq kr)\leq0,05$
Durch Ablesen der Tabelle erhält man kr=1.
Der Verwerfungsbereich ist somit das Intervall von {0,1}.
b) Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich weiterhin 6% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber fälschlicherweise vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones unter 6% liegt.
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 6% der hergestellten Smartphones defekt, der Test erkennt dies aber nicht. Die Nullhypothese $H_0$ wird fälschlicherweise nicht verworfen.

Aufgabe 2

Viele Universitäten in Deutschland bieten neu gemeinsame Busfahrten zum King`s Day nach Amsterdam an. Durch ein Signifikanztest soll überprüft werden, ob durch dieses Angebot an dem Tag mehr Menschen aus Deutschland anreisen als sonst. Im letzten Jahr kamen 34% aller Besucher aus Deutschland. Für den Test werden zufällig 100 Menschen beim King`s Days befragt und das Signifikanzniveau $\alpha$ wird auf 5% festgelegt.

a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und gib den Verwerfungsbereich an.
b) In der Umfrage kommt raus, dass 45 der Befragten aus Deutschland kommen. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren?

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a) 1. Schritt: $H_0:p=0,34$ und $H_1:p>0,34$
2. Schritt: $n=100$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die aus Deutschland angereist sind. X ist $B_{100,0.34}$ -verteilt
4. Schritt: $P(X\geq kr)\leq0,05\Rightarrow1-P(X\leq kr-1)\leq0,05$
$P(X\leq kr-1)\geq0,95$
Aus Ablesen der Tabelle erhält man: kr-1=42 => kr=43
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {43...100}liegt.
b) Das Ergebnis liegt im Verwerfungsbereich. Somit kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgegangen werden, dass der Anteil der aus Deutschland angereisten Besucher*innen gestiegen ist.

Aufgabe 3

Ein Präsidentschaftskanditat aus den USA hat in der zwei Monat zurück liegenden Umfrage einen Stimmenanteil von 50% Prozent erzielt. Nun interessiert er sich, ob sein Stimmenanteil sich verändert hat. Er will dies mit einem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen und lässt zufällig 1000 Menschen befragen.Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.

a) Führe den Signifikanztest durch und bestimme den Verwerfungsbereich

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a) 1. Schritt:$H_0:p=0,5$ und $H_1:p\neq0,5$
2. Schritt $n=1000$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die ihn wählen würden. X ist $B_{1000;0,5}- verteilt$
4. Schritt: 1.) $P(X\leq kr)\leq 0,025$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=468.
2.) $P(X\leq kr-1)\geq0,975$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=532.
Der Verwerfungsbereich ist die Vereinigung auf folgenden Intervallen: {0,..468}$\cup${532,.., 1000}.