Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining - Signifikanztest

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Aufgabe 1

Letztes Jahr hat Anna bei der Schulsprecherwahl 40% der Stimmen erhalten. Vor der nächsten Wahl interessiert sie sich, ob sie dieses Jahr ihr Stimmenanteil vom letzten Jahr verbessern kann. Dafür führt sie ein Signifikanztest durch. Sie befragt 100 Schüler*innen aus der Schule. Für den Test legt sie ein Signifikanzniveau von 5% fest.

a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und formuliere die zugehörige Entscheidungregel.
b) Anna bekommt aus raus, dass 50 Schüler*innen aus der Stichprobe vorhaben sie als Schulsprecherin zu wählen. Beschreibe wie Anna dieses Ergebnis interpretiren kann?
c) Ihr tatsächlicher Stimmenanteil beträgt allerdings nur 32%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese fälchschlicherweise abgelehnt wird. Um welchen Fehler handelt es sich?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Nullhypothese fälschlicherweise angenommen, wenn sie tatsächlich 45% wählen. Um welchen Fehler handelt es sich?

a) 1. Schritt: $H_0:p\leq0,4$ und $H_1:p>0,4$
2. Schritt: $n=100$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die Anna wählen. X ist im Grenzfall $B_{100;0,4}- verteilt$
4. Schritt: $P(X\geq kr)\leq0,05\Rightarrow1-P(X\leq kr-1)\leq0,05$
$P(X\leq kr-1)\geq0,95$
Aus Ablesen der Tabelle kr-1=48 => kr=49
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {49...100}liegt.Der Annahmebereich ist das Intervall zwischen {0,...48}.
b) Sie kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgehen, dass sich ihr Stimmenanteil zu letzten Jahr verbessern wird.
c) Es handelt sich um einen Fehler 1 Art. Eine richtige Nullhypothese wird fälschlicherweise verworfen.
Berechnung:X ist $B_{100;0,32}- verteilt,$ $P(X\geq 49)=1-P(X\leq48)=1-0,9997=0,0003$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,03% wird bei einem wahren Stimmenanteil von 32% die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen.
d) Es handelt sich um einen Fehler 2. Art. Eine falsche Nullhypothese wird fälschlicherweise angenommen.
Berechnung: X ist $B_{100;0,45}-verteilt$, $P(X\leq48)=0,7596$.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75,96% wird die Nullhypothese,bei dem tatsächlichen Stimmenanteil von 45% fälschlicherweise angenommen.

Aufgabe 2

Ein Schüler behauptet, dass er mindestens 950 von 1000 Vokablen kann. Sein Lehrer glaubt ihm nicht. Er denkt, dass sein Schüler eindeutig weniger Vokabeln kann. Daher fragt der Lehrer seinen Schüler 40 Vokabeln ab.
a) Warum fragt der Lehrer ihn nicht alle 1000 Vokabeln ab?
b) Wie viele Vokabeln müsste der Schüler von den 40 Vokabeln mindestens richtig beantworten, damit sein Lehrer nicht das Gegenteil behaupten kann.Führe einen passenden Signifkanztest aus Sicht des Lehrers durch. Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.
c) Beschreibe worin der Fehler 1. Art und Fehler 2. Art besteht.
d) Der Schüler weiß tatsächlich nur 90% der Vokabeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lehrer ihm dennoch glaubt?

a) Die Überpürfung der 1000 Vokablen würde zu lange dauern.
b) 1. Schritt:$H_0: p\geq0,95$ und $H_1:p<0,95$
2. Schritt: n=40 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Vokabeln, die der Schüler gewusst hat. X ist im Grenzfall $B_{40;0,95}- verteilt$.
4. Schritt: $P(X\leq kr)\leq0,05$
Aus Ablesen der Tabelle erhält man kr=35.
Annahmebereich: {36, ...,100} und Verwerfungsbereich: {0,..,35}.
c)Bei dem Fehler 1. Art weiß der Schüler tatsächlich 95% oder mehr der Vokabeln, er kann allerdings im Test nur höchstens 35 Vokabeln richtig beantworten, daher wird die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen.
Beim Fehler 2. Art weiß der Schüler weniger als 95% der Vokabeln, er kann aber im Test mehr als 36 richtig beantworten. Daher wird die Nullhypothese fälschlicherweise angenommen.
d)X ist $B_{40;0,9}-verteilt$ $P(X\geq36)=1-P(X\leq35)=1-0,371=0,629$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit also 62,9%.

Aufgabe 3

Arthur behauptet, dass wenn er Fremden Menschen zulächelt 50% zurück lächeln. Jonas, ein Freund von Arthur, fragt sich ob das stimmt? Deshalb wollen sie ein Signifikanztest durchführen. Arthur soll 1000 Menschen anlächeln. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5 % fest.
a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und bestimme die Entscheidungsregel
b) Von den 1000 Menschen haben 531 zurückgelächelt. Arthur behauptet, dass somit bewiesen ist das seine Aussage wahr ist. Nimm zu dieser Aussage Stellung.

a) 1. Schritt:$H_0:p=0,5$ und $H_1:p\neq0,5$
2. Schritt $n=1000$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die zurückgelächelt haben. X ist im Grenzfall $B_{1000;0,5}- verteilt$
4. Schritt: 1.) $P(X\leq kr)\leq 0,025$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=468.
2.) $P(X\leq kr-1)\geq0,975$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=532.
Annahmebereich: {469,...531}.
Verwerfungsbereich: {0,..468}$\cup${532,.., 1000}.
b) 531 liegt zwar im Annahmebereich. Aber über Ergebnisse die im Annahmebereich liegen, kann keine Aussage getroffen werden. Arthur kann durch den Test nicht zeigen, dass der Wert 50% gilt.