Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Normalform

Quadratische Funktionen erkunden

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In diesem Kapitel stellen sich die Parameter der Normalform quadratischer Funktionen vor. Du kannst herausfinden,

1. wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
2. welchen Einfluss die Parameter der Normalform auf das Aussehen und die Lage der Parabel haben und
3. wie du das an den Funktionstermen erkennen kannst.

Strecken, Stauchen und Spiegeln

Achtung

Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel die Parameter der Scheitelpunktform. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt "Der Parameter b".

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) .

Was passiert, wenn man statt der Funktion $y=x^2$ folgende Funktionen gegeben hat:

(1) $y=2x^2$,          (2) $y=\frac{1}{2}x^2$     und     (3) $y=-x^2$ ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von $y=x^2$ vergleichen.

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?

In dem Applet ist die Normalparabel $f(x)=x^2$ grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "$a=$" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph $g(x)=a \cdot x^2$ verändert.

Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:

1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel schmaler, da die quadrierten x-Werte ($x^2$) durch den Vorfaktor 2 immer verdoppelt werden. Der zugehörige y-Wert wird dadurch größer.

2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel breiter, da die quadrierten x-Werte ($x^2$) durch den Vorfaktor 1/2 immer halbiert werden. Der zugehörige y-Wert wird dadurch kleiner.

3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel "umgedreht", da die quadrierten x-Werte ($x^2$) durch den Vorfaktor -1 immer negative Werte annehmen. Der y-Wert ist also immer negativ.

Aufgabe 2

In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.

Schau nochmal in deine Lösung zu Aufgabe 1. Du kannst auch erneut verschiedene Werte für a in dem Applet dort eingeben und die Auswirkungen auf den Graphen betrachten.

Wenn a kleiner Null ist ($a<0$), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.

Wenn a größer Null ist ($a>0$), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.

Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt ($-1<a<1$), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.

Wenn a kleiner als minus Eins ($a<-1$) oder größer als Eins ist ($a>1$), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.

Aufgabe 3

Knobelaufgabe

Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.

Aufgabe 4

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) .

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.

Merke

Multipliziert man $y=x^2$ mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. $y=ax^2$ (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.

Der Parameter b

Aufgabe 5

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 10) .

Was passiert, wenn man statt der Funktion $y=x^2$ folgende Funktionen gegeben hat:

(1) $y=x^2+3x$,          (2) $y=x^2-3x$ ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von $y=x^2$ vergleichen.

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?

In dem Applet ist die Normalparabel $f(x)=x^2$ grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für $b=$ eingeben. Dadurch wird der grüne Graph $g(x)=x^2+b \cdot x$ verändert.

Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:

1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach links und unten verschoben, da zu dem quadrierten x-Wert ($x^2$) ein weiterer Term mit x addiert wird.

2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel nach rechts und unten verschoben, da ein Term mit x von dem quadrierten x-Wert ($x^2$) subtrahiert wird.

Der Parameter $a$ ist in beiden Fällen positiv mit $a=1$.

Aufgabe 6

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11-12) und einen Partner .

a)

Wie sieht der Graph aus: Ist er nach oben oder nach unten geöffnet? Nach rechts oder nach links verschoben?

Wende dein Wissen über die Parameter $a$ und $b$ an.

b) Überlege dir einen Tipp für deinen Partner, wie er die passenden Terme beim Pferderennen herausfinden kann. Notiere den Tipp in deinem Hefter.

c) Vergleiche deinen Tipp mit dem deines Partners an dich.

Aufgabe 7

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 4) .

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.

Merke

Addiert man den Ausdruck $bx$ zu $y=ax^2$, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für $y=ax^2+bx$ gilt:

Für a>0:

b>0: Die Parabel wird nach links und unten verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.

Für a<0:

b>0: Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach links und oben verschoben.

Der Parameter c

Aufgabe 8

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) .

Was passiert, wenn man statt der Funktion $y=x^2$ folgende Funktionen gegeben hat:

(1) $y=x^2+3x+2$,          (2) $y=x^2+3x-2$ ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von $y=x^2$ vergleichen.

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?

In dem Applet ist die Normalparabel $f(x)=x^2$ grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für $c=$ eingeben. Dadurch wird der grüne Graph $g(x)=x^2+3 \cdot x+c$ verändert.

Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:

Durch Aufgabe 5 ist klar, dass die Parabel von Funktion (1) nach links und unten verschoben ist (siehe oben, Parameter b).

1. Die Parabel von Funktion (1) ist zusätzlich wieder nach oben verschoben, da noch ein weiterer Term addiert wird ($c=2$).

2. Die Parabel von Funktion (2) ist zusätzlich nach unten verschoben, da noch ein weiterer Term subtrahiert wird ($c=-2$).

Der Wert von c gibt immer den y-Achsenabschnitt an.

Aufgabe 9

Welchen Wert hat der Parameter c? Trage deine Lösung wie in dem Beispiel ein:

Der Paramter $c$ gibt den y-Achsenabschnitt an. Du kannst ihn an dem Punkt $P(0|c)$ ablesen.

Aufgabe 10

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 4) .

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.

Merke

Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den y-Achsenabschnitt der Parabel $y=ax^2+bx+c$ an. Es gilt für:

c>0: Die Parabel wird nach oben verschoben.

c<0: Die Parabel wird nach unten verschoben.

Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte

Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind, noch einmal gesammelt dargestellt.

Merke

Multipliziert man $y=x^2$ mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. $y=ax^2$ (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.

Merke

Addiert man den Ausdruck $bx$ zu $y=ax^2$, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für $y=ax^2+bx$ gilt:

Für a>0:

b>0: Die Parabel wird nach links und unten verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.

Für a<0:

b>0: Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach links und oben verschoben.

Merke

Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den y-Achsenabschnitt der Parabel $y=ax^2+bx+c$ an. Es gilt für:

c>0: Die Parabel wird nach oben verschoben.

c<0: Die Parabel wird nach unten verschoben.

Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktion der Form $y=ax^2+bx+c$. Diese Form heißt Normalform.

Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.

Die Normalform

Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)