Integralrechnung/Stammfunktion

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Stammfunktion

Vorlage:Kastendesign1

Beispiel

Gesucht ist eine Stammfunktion $F(x)$ zu der Funktion $f(x) = x^2$.
Wir wissen, dass die Ableitung der gesuchten Funktion unsere Ausgangsfunktion sein muss. Wir wissen weiter, dass bei der Ableitung einer Potenzfunktion der Exponent als Faktor vor die Ableitung geschrieben und danach um 1 erniedrigt wird. Also gilt
$F(x) = \frac{1}{3} \ x^3$, denn $F \ '(x) = x^2$ und das wollten wir ja haben!

Vorlage:Aufgaben-M

Vorlage:Lösung

Im Applet unten wird Dir ein grafisches Beispiel einer Funktion $f(x)$ und zweier Stammfunktionen $F(x)$ und $G(x) = F(x) + c$ gezeigt.
Verschiebe dabei zuerst die Funktion $f(x)$ mit der Maus in alle möglichen Richtungen und beobachte, wie sich die Stammfunktionen verändern.
Verschiebe in einem zweiten Schritt die Konstante $c$ auf der y-Achse und abwechselnd die Ausgangsfunktion. Beobachte die Veränderung.

Applet auf geogebra.org: Link

Verfeinertes Beispiel von oben

Wir haben jetzt gesehen, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer gegebenen Funktion gibt, da die addierte Konstante bei der Ableitung wieder verschwindet. Also müssen wir das Ergebnis des Beispiels von oben etwas erweitern.
Im Allgemeinen gilt dann für $f(x)=x^2$:
$F(x)=\frac{1}{3} \ x^3+c$

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