Zylinder Pyramide Kegel/Der Satz von Cavalieri: Unterschied zwischen den Versionen
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Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach. | Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach. | ||
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Volumenvergleich von Zylindern 1 ''' | |||
*Ziehe an dem grünen Punkt, um den Grundflächeninhalt des zweiten Zylinders zu verändern. | *Ziehe an dem grünen Punkt, um den Grundflächeninhalt des zweiten Zylinders zu verändern. | ||
*Ziehe an dem roten Punkt, um die Höhe des dritten Zylinders zu verändern. | *Ziehe an dem roten Punkt, um die Höhe des dritten Zylinders zu verändern. | ||
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'''Volumenvergleich von Zylindern 2''' | |||
*Welche der Zylinder besitzen das gleiche Volumen? Begründe deine Antwort! Nutze dazu die beweglichen Elemente! | *Welche der Zylinder besitzen das gleiche Volumen? Begründe deine Antwort! Nutze dazu die beweglichen Elemente! | ||
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Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.<br> | Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.<br> | ||
Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und '''begründe''' deine Antwort! | Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und '''begründe''' deine Antwort! | ||
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'''Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform''' | |||
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*Nutze die beweglichen Elemente! | |||
*Durch Ziehen an dem orangenen Punkt kannst du auch das dreiseitige gerade Prisma in ein dreiseitiges schiefes Prisma überführen. | |||
{{Lösung versteckt|1=Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächen'''inhalt''' an!<br> | {{Lösung versteckt|1=Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächen'''inhalt''' an!<br> | ||
Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre '''Grundflächeninhalte''', ihre '''Höhe''' und die zur Grundfläche parallelen '''Schnittflächen''' in gleicher Höhe gleich groß sind.}} | Bsp.: Ein Prisma mit quadratischer Grundflächen und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche haben das gleiche Volumen, wenn ihre '''Grundflächeninhalte''', ihre '''Höhe''' und die zur Grundfläche parallelen '''Schnittflächen''' in gleicher Höhe gleich groß sind.}} | ||
=='''Übungsaufgaben'''== | =='''Übungsaufgaben'''== |
Version vom 4. November 2018, 15:02 Uhr
Zur Person
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein
italienischer Mathematiker und Astronom.
Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt)
geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.
Erarbeitung des Satzes von Cavalieri
Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"
Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"
Wer hat nun Recht?
Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!
Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!
Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:
Volumenvergleich von Zylindern 1
- Ziehe an dem grünen Punkt, um den Grundflächeninhalt des zweiten Zylinders zu verändern.
- Ziehe an dem roten Punkt, um die Höhe des dritten Zylinders zu verändern.
Volumenvergleich von Zylindern 2
- Welche der Zylinder besitzen das gleiche Volumen? Begründe deine Antwort! Nutze dazu die beweglichen Elemente!
Zurück zur Ausgangsfrage:Wer hat nun Recht? Peter oder Sandra? Begründe deine Antwort!
Verallgemeinerung der Erkenntnisse
Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen.
Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...
Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?
Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.
Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform
- Nutze die beweglichen Elemente!
- Durch Ziehen an dem orangenen Punkt kannst du auch das dreiseitige gerade Prisma in ein dreiseitiges schiefes Prisma überführen.
Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächeninhalt an!
Übungsaufgaben
Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an!
a) b)
Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also:
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also:
Hausaufgabe für nächste Stunde
Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde schon anfangen!