Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter

Trigonometrische Funktionen

• Einfluss der Parameter
• Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen
• Anwendungen in der Physik

Mathematik-digital.de

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Station 1: Erforsche den Einfluss der Parameter auf das Aussehen des Graphen!

Kompetenzen

1. Auf dieser Seite lernst du welche Bedeutung die Parameter a,b,c und d bei der allgemeinen Sinusfunktion und Kosinusfunktion haben.
2. Du erkennst die Auswirkungen auf den Graphen der durch einen Term gegebenen Funktion.
3. Du kannst zu gegebenen Funktionstermen die richtigen Graphen finden und selbst zeichnen.

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit vier Spalten für den Einfluss von $a, b, c$ und $d$ anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.

---

Einfluss von $a$ Einfluss von $b$ Einfluss von $c$ Einfluss von $d$ Untersuche hier den Einfluss von $a$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow a\cdot \sin x$ und $x \rightarrow a\cdot \cos x$. Untersuche hier den Einfluss von $b$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \sin ( b\cdot x )$ und $x \rightarrow \cos ( b\cdot x )$. Untersuche hier den Einfluss von $c$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \sin ( x + c )$ und $x \rightarrow \cos ( x + c )$. Untersuche hier den Einfluss von $d$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \sin x + d$ und $x \rightarrow \cos x + d$.

---

Jetzt noch was zum Knobeln!!!

Aufgabe 1

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen $\,\!x \rightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ und $\,\!x \rightarrow \cos(x)$ in dein Heft oder mit Hilfe von diesem Applet und betrachte sie! Was fällt dir auf?

Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!

Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:

Merke

Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion, indem man z.B. den Graphen der Sinusfunktion um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschiebt.

Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Merke

Die allgemeine Sinusfunktion lautet

 $x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d$ .

Entsprechend lautet die allgemeine Kosinusfunktion

 $x \rightarrow a\cdot \cos \Big( b\cdot (x + c) \Big) + d$ .

Dabei sind $\ a,b,c,d$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  $\ a,b,c,d \in \R$  und  $a,b\neq 0$ .

Aufgabe 2

Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.

Aufgabe 3

Parameter gesucht! Je einer der Parameter $a, b, c$ und $d$ wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!

Die Nullstellen, Extrema und die Periode verändern sich nicht, falls a varriert wird, die Wertemenge jedoch schon.
Variiert man c , so verändern sich die Nullstellen und Extrema, aber nicht die Periode und die Wertemenge.
Ändern sich die Nullstellen und die Wertemenge, wobei die Extrema und die Periode bleiben, dann wird d variiert.
Nullstellen, Extrema und Periode ändern sich, die Wertemenge bleibt aber gleich, falls b variiert wird.

Aufgabe 4

• In diesem Applet (Klicke dann dort auf Funktionen erkennen 3!) kannst du zeigen, ob du zu gegebenen Funktionstermen die zugehörigen Graphen findest.
• Memory

$-\cos \frac{x}{2}$
$-0,5 \cdot \sin (2x)$
$2 \cdot\sin x$
$\sin x$
$\cos x$
$\cos(x+\frac{\pi}{4})$

Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe Mind Map

Nun sollst du ein Mind Map über die in dieser Station gelernten Zusammenhänge erstellen. Am besten verwendest du dazu dein Heft im Querformat und zeichnest am linken Rand in die Mitte einen Kreis, in den du Einfluss der Parameter schreibst. Von dem Kreis ausgehend kannst du vier Äste nach rechts zeichnen, auf denen du die Parameter notierst. An diese Äste kannst du dann Zweige hängen, die sich natürlich weiter verästeln können.

Aufgabe 6 - Zusatzaufgabe Eselsbrücke

Lisa und Ben haben ein gemeinsames Lieblingsfach – Mathematik. Zusammen haben sie sich folgende Eselsbrücke überlegt:

Dabei stehen die Großbuchstaben für die Parameter $a, b, c$ und $d$ der allgemeinen Sinusfunktion. Verstehst du, was sie mit ihren Aufzeichnungen meinen? Erkläre mindestens einen Teilbereich deinem Nachbarn! Wenn du die Eselsbrücke hilfreich findest, notiere sie in dein Heft!

Lisa und Ben haben sich eine Eselsbrücke überlegt, die aus drei Teilen besteht. Die A´s und B´s links, das CD rechts und dem Hilfssatz unten.

• Zunächst betrachten wir die A´s und B´s links: Dort haben Lisa und Ben drei senkrechte gepunktete Striche mit den Beschriftungen -1, 0 und 1 gezeichnet. Diese Beschriftungen sind so zu verstehen, wie die Beschriftungen auf einem Zahlenstrahl.
  • Das erste A steht also für den Parameter a, der kleiner als -1 ist. Der Graph der Sinusfunktion ist für a < -1 in y-Richtung gestreckt und zusätzlich an der x- Achse gespiegelt. Deshalb ist in der Eselsbrücke das A schmäler und falsch rum dargestellt, also wie der Graph in „y-Richtung“ gestreckt und an der „x-Achse“ gespiegelt.
  • Das zweite A steht für den Parameter a, der größer als -1 und kleiner als 0 ist. Der Graph einer Sinusfunktion für -1 < a < 0 ist in y-Richtung gestaucht und zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. Deshalb ist in der Eselsbrücke das A kleiner und falsch rum dargestellt, also wie der Graph in „y-Richtung“ gestaucht und an der „x-Achse“ gespiegelt.
  • ….

• Mit dem C und D rechts meinen Lisa und Ben, dass der Graph für ein positives c nach links und für ein negatives c nach rechts verschoben wird. Ferner wird der Graph für ein positives d nach oben und für ein negatives d nach unten verschoben. Daher die + und – mit den Pfeilen in der Eselsbrücke.

• Lisa´s Mutter ist Fan der Musikgruppe ABBA. Daher kennt Lisa das Logo von ABBA mit den gespiegelten ersten zwei Buchstaben. Spontan hat sie ein neues Logo für die Gruppe entworfen. Dazu hat sie in die A´s und B´s links den Mund eines Smily´s gezeichnet und die auf dieser Linie liegenden Buchstaben hintereinander geschrieben.

Hinweis:

In der Eselsbrücke wurde versucht, die gelb hinterlegten Inhalte in der Lösung zu Aufgabe A1, in der Lösung zu Aufgabe B1, in der Lösung zu Aufgabe C1 und in der Lösung zu Aufgabe D1 zu veranschaulichen.

---

Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alle gelb hinterlegten Texte übernommen hast! Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe 1 auch ein Hefteintrag "versteckt" ist!

Weiter geht es mit Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr

Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen