Zylinder Pyramide Kegel/Der Satz von Cavalieri: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 2. November 2018, 21:08 Uhr
Zur Person
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) war ein
italienischer Mathematiker und Astronom.
Im "Satz von Cavalieri" (auch "Prinzip von Cavalieri" genannt)
geht es um die Volumengleichheit zweier Körper.
Erarbeitung des Satzes von Cavalieri
Peter: "Gib mir das rechte Glas, da passt mehr rein! Ich hab so einen Durst!"
Sandra: "So ein Quatsch! In die Gläser passt doch gleich viel!"
Wer hat nun Recht?
Um diese Frage zu beantworten, musst du wissen, welche Kriterien zwei Körper erfüllen müssen, damit sie das gleiche Volumen besitzen!
Arbeite diese Kriterien mit Hilfe der folgenden beiden Geogebra-Applets heraus und notiere deine Beobachtungen bzgl. der Volumina auf deinem Laufzettel!
Zusätzliches Anschauungsmaterial zum Anfassen:
Wenn es dir schwer fällt, dir das Ganze richtig vorzustellen, nimm dir vorne am Pult zwei der Bierdeckelstapel und stelle die einzelnen Situationen damit nach.
GeoGebra Applet "Volumenvergleich von Zylindern (1) + (2)"
GeoGebra Applet "Volumenvergleich von Zylindern (3)"
Zurück zur Ausgangsfrage:
Verallgemeinerung der Erkenntnisse
Es ist relativ leicht nachzuvollziehen, dass die Kriterien, die du für die Volumengleichheit von Zylindern herausgearbeitet hast, auch für andere volumengleiche Körper (z.B. Prismen) gelten müssen.
Fasse deine gewonnenen Erkenntnisse zusammen und formuliere eine allgemeine Regel: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn für sie gilt ...
Was ist bei unterschiedlichen Grundflächen?
Bisher haben wir nur Zylinder in Bezug auf ihr Volumen miteinander verglichen. Jeder Zylinder hat die gleiche Grundflächenform - einen Kreis.
Gilt der Satz von Cavalieri auch für Körper mit unterschiedlicher Grundflächenform? Untersuche dies mit Hilfe des folgenden Geogebra-Applets und begründe deine Antwort!
GeoGebra Applet "Volumenvergleich von Prismen mit unterschiedlicher Grundflächenform"
Es kommt nicht auf die Form der Grundfläche, sondern auf den Grundflächeninhalt an!
Übungsaufgaben
Berechne die Volumina der beiden Körper und gib das Ergebnis in Kubikdezimeter an!
a) b)
Das schiefe Prisma besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechtes Prisma mit den angegebenen Maßen. Also:
Der geschwungene Zylinder besitzt das gleiche Volumen wie ein senkrechter Zylinder mit den angegebenen Maßen. Also:
Hausaufgabe für nächste Stunde
Bearbeite in deinem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) die Aufgaben Nr. 2 und Nr. 4 auf Seite 22.
Wenn du noch ein paar Minuten Zeit hast (und es sich somit nicht lohnt, mit der neuen Lerneinheit noch zu beginnen), kannst du die Aufgaben auch in der Stunde schon anfangen!