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Lernschritt Normalparabel strecken und spiegeln

• In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verändert wird, wenn man in ihrem Funktionsterm $x^2$ mit einem konstanten Faktor $a$ multipliziert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen $g(x)=2 \; x^2$, $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ genauer betrachtet.

1. Aufgabe Wertetabelle

1. Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=2 \; x^2$, $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.
2. Vergleiche die y-Werte der Funktionen $g$, $h$ und $i$ spaltenweise mit den y-Werten der Funktion $f$. Was stellst du dabei fest?

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$
$g(x)=2 \; x^2$
$h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$
$i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2$

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$	9	4	1	0	1	4	9
$g(x)=2 \; x^2$	18	8	2	0	2	8	18
$h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25
$i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2$	-2,25	-1	-0,25	0	-0,25	-1	-2,25

Die y-Werte der Funktion $g$ sind bei gleichem x-Wert doppelt so groß wie die bei der Normalparabel, die y-Werte von $h$ nur ein Viertel so groß. Die y-Werte der Funktion $i$ unterscheiden sich von denjenigen der Funktion $h$ nur durch das negative Vorzeichen.

2. Aufgabe

QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf

1. In der Abbildung "QF04 Abbildung 1" sind vier Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet, einer als Strich-Punkt- und einer als durchgezogene Linie. Ordne diese Graphen den Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=2 \; x^2$, $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$ und $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$ zu und begründe deine Zuordnung.
2. Beschreibe, durch welche graphische Operation die Graphen von $g$, $h$ und $i$ jweils aus der Normalparabeln entstehen.

1. Die durchgezogene Linie ist eine Normalparabel, also der Graph der Funktion $f(x)=x^2$. Dies erkennt man u.a. an den Treppen-Punkten in der Tabelle.
   Die gepunktete Linie oberhalb der Normalparabel ist der Graph von $g(x)=2 \; x^2$. Dies erkennt man z.B. an den Punkten $(1|2)$ und $(-1|2)$, die auf diesem Graphen liegn.
   Die gestrichelte Linie ist der Graph der Funktion $h$, leicht zu identifizieren mithilfe der Punkte $(2|1)$ und $(-2|1)$.
   Die Strich-Punkt-Linie verläuft vollständig unterhalt der x-Achse und gehört daher zu der Funktion $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$, bei der alle y-Koordinaten negativ sind.
2. Der Graph der Funktion $g(x)=2 \; x^2$ entsteht, indem man die Normalparabel in y-Richtung um den Faktor 2 streckt, der Graph von $h(x) =\frac{1}{4} \; x^2$, indem man sie um den Faktor $\frac{1}{4}$ in y-Richtung staucht. Den Graphen von $i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2$, erhält man, wenn man den Graphen von $h$ an der x-Achse spiegelt, also durch eine Stauchung und x-Achsenspiegelung der Normalparabel.

3. Aufgabe $f(x) =a\;x^2$

In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welchen Einfluss hat der Parameter $a \in \mathbb{R}$ auf den Graphen der Funktion $f_a(x) =a\; x^2$ hat.

1. Wie unterscheidet sich der Graph von $f_{-1}(x=-x^2$ (mit $a = -1)$ gegenüber dem Graphen von $f_1(x)=x^2$ (mit $a = 1)$?
2. Welche geometrische Operation wird mit dem Graphen von $f_a$ durchgeführt, wenn sich beim Parameter $a$ nur das Vorzeichen ändert (für jedes beliebige $a \in \mathbb{R}$)?
3. Beim folgenden Vergleich geht es nur um positive Parameter $a$, also $a > 0$. Wie verlaufen die Graphen von $f_a$ für alle $a < 1$ im Vergleich zu den Graphen, bei denen $a > 1$ ist?
4. Beschreibe anschaulich, wie sich der Graph von $f_a$ verändert, wenn man von einem deutlich über 1 liegenden Parameterwert $a$ ausgehend diesen Parameter allmählich immer kleiner werden lässt, bis er schließlich sehr knapp über dem Wert 0 landet. Was passiert, wenn man diese Bewegung über die Marke $a = 0$ hinaus weiter fortsetzt (für $a < 0$?
5. Was ist an dem Fall $a = 0$ besonders?

In dem GeoGebra-Applet ändert sich die Form der Parabel mit der Funktionsgleichung $f_a(x) =a^2$, wenn man die Position des Schiebereglers $a$ verändert.

Die Lösung findest du in der folgenden Zusammenfassung.

Zusammenfassung $f_a(x) =a\;x^2$

Streckung der Normalparabel in y-Richtung

• Der Graph der Funktion $f_a(x) =a\;x^2$ ist für jede Zahl $a \in \mathbb{R}, a \not= 0$ eine um den Streckfaktor $a$ in y-Richtung gestreckte Normalparabel.

Dabei kann man folgende Fälle unterscheiden:

1. $a > 1$: Die Normalparabel wird in y-Richtung "nach oben" gestreckt, verläuft also oberhalb der Normalparabel.
   Anmerkung: Die graphische Veränderung, die bei dieser Streckung entsteht, kann man auch als eine "Stauchung" in x-Richtung betrachten, da die beiden Äste der Parabel zur y-Achse hin "gedrückt" werden. Wir beschränken uns hier auf die Sichtweise einer Streckung in y-Richtung.
2. $a = 1$ Dies ist die Gleichung der Normalparabel.
3. $0 < a < 1$ Die Parabel ist immer noch nach oben geöffnet, verläuft nun aber unterhalb der Normalparabel. Sie ist dieser gegenüber in y-Richtung "gestaucht". In der Mathematik spricht man auch in diesem Fall von einer "Streckung". Der Streckfaktor ist hier ein positiver, echter Bruch, der alle y-Koordinaten entsprechend verkleinert.
4. $a = 0$ In diesem Fall ist der Graph eine Gerade, nämlich die x-Achse.
5. $-1 < a < 0$ Die Normalparabel wird hier in gleichem Maße gestaucht wie im 3. Fall. Allerdings ist sie nun nach unten geöffnet und verläuft vollständig unterhalb der x-Achse.
6. $a = -1$ Der Graph ist eine nach unten geöffnete, an der x-Achse gespiegelte Normalparabel.
7. $a < -1$ Der Graph ist eine in y-Richtung gestreckte, nach unten geöffnete Normalparabel. Anders ausgedrückt: Die Normalparabel wurde erst an der x-Achse gespiegelt und dann um den Streckfaktor $a$ in y-Richtung gestreckt.

• Der Scheitelpunkt aller Parabeln mit der Funktionsgleichung $f(x) =a\;x^2$ mit $a \in \mathbb{R}$ liegt im Koordinatenursprung $O(0|0)$.