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Lernschritt Normalparabel in x-Richtung verschieben

In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrem Funktionsterm $x^2$ noch vor dem Quadrieren von Variable $x$ eine konstante Zahl subtrahiert oder addiert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen $g(x)=(x-3)^2$ und $h(x) =(x+2)^2$ genauer betrachtet.

• Anschließend wird wieder die gesamte Funktionenschar untersucht und
• schließlich lernst du noch die allgemeine Gleichung für eine Transformation von Funktionsgraphen in x-Richtung kennen.

1. Aufgabe Wertetabelle

1. Übertrage die Tabelle 2 für die Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=(x-3)^2$ und $h(x)=(x+2)^2$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.
2. Vergleiche die Abfolge der y-Werte von links nach rechts bei allen drei Funktionen. Welchen Zusammenhang in Bezug auf die Parabel-Treppe stellst du fest?

Tabelle 2

$x$	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$f(x)=x^2$
$g(x)=(x-3)^2$
$h(x)=(x+2)^2$

Tabelle 2

$x$	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$f(x)=x^2$	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16	25	36
$g(x)=(x-3)^2$	64	49	36	25	16	9	4	1	0	1	4	9
$h(x)=(x+2)^2$	9	4	1	0	1	4	9	16	25	36	49	64

1. Bei den Funktionsgraphen von $g$ und $h$ kann man die gleiche Parabel-Treppe anlegen wie bei der Normalparabel (siehe QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe). Allerdings beginnt sie bei $g$ im tiefsten Punkt $(3|0)$ und bei $h$ im tiefsten Punkt $(-2|0)$.

2. Aufgabe

QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf

1. In der Abbildung "QF03 Abbildung 1" sind zwei Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt und einer mit durchgezogener Linie. Ordne diese beiden Graphen den Funktionen $g(x)=(x-3)^2$ und $h(x)=(x+2)^2$ zu. Begründe deine Zuordnung mithilfe von "Treppen-Punkten" aus der Tabelle 2 (siehe QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe).
2. Die Graphen von $g(x)=(x-3)^2$ und $h(x)=(x+2)^2$ sind verschobene Normalparabeln. Gibt für beide Graphen an, um wie viele Einheiten und in welche Richtung die Normalparabel verschoben wurde und erläutere anhand der Funktionsgleichungen von $g$ und $h$, wie jeweils die Verschiebung zustande kommt.

1. Die durchgezogene Linie ist der Graph der Funktion $g$, die gestrichelte Linie der Graph der Funktion $h$. Am Koordinatenraster der Abbildung kann man ablesen, dass z.B. die "Treppen-Punkte" $(3|0)$, $(4|1)$, $(5|4)$ $(6|9)$, die man in Tabelle 2 für die Funktion $g$ findet, auf diesem Graphen liegen.
   Entsprechendes gilt für die Treppen-Punkte $(-2|0)$, $(-1|1)$, $(0|4)$, $(1|9)$ der Funktion $h$, die auf der gestrichelten Linie liegen.
2. Der Graph der Funktion $g$ ist eine um 3 Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel, der Graph der Funktion $h$ ist eine um 2 Einheiten nach links verschobene Normalparabel.
3. Begründung für die Verschiebung nach rechts (in positiver x-Richtung) am Beispiel $g$:
   In Tabelle 2 erkennt man, dass die Zeile mit den y-Werten von $g$ gegenüber der y-Reihe von $f$ um 3 Spalten nach rechts verschoben ist. Diese Verschiebung gilt auch für jeden anderen x-Wert, wenn man ihn in beide Funktionen einsetzt. Die Gleichung $g(x)=(x-3)^2$ kann man auch so schreiben: $g(x) = f(x-3)$, denn man erhält $g(x)$, wenn man in der Gleichung von $f$ das $x$ durch $x-3$ ersetzt.
   Die Gleichung $g(x) = f(x-3)$ kann man auch so interpretieren, dass die Funktionenmaschine $g$ an der Stelle $x$ den gleichen Funktionswert erzeugt, den die Maschine $f$ erst erzeugt, wenn man $x$ um 3 verringert hat. Der von $g$ erzeugte Punkt liegt also 3 Einheiten rechts von dem Punkt, den $f$ aus dem gleichen $x$ erzeugt. Daher ist der gesamte Graph von $g$ gegenüber der Normalparabel um 3 Einheiten nach rechts verschoben.

3. Aufgabe $f(x) =(x-d)^2$

Bisher wurden zwei spezielle Verschiebungen der Normalparabel in x-Richtung untersucht. In dieser Aufgabe geht es allgemein um beliebige Verschiebungen der Normalparabel in x-Richtung.

1. Erkläre für eine beliebige Zahl $d \in \mathbb{R}$, wie der Graph der Funktion $f(x) =(x-d)^2$ durch eine Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung entsteht und welche Rolle genau die Zahl $d$ dabei spielt.
   
2. Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel $f(x) =(x-d)^2$ an. Begründe deine Angabe.

1. In der vorangegangen Aufgabe wurde begründet, warum der Graph der Funktion $g(x)=(x-3)^2$ eine um 3 Einheit nach rechts verschobene Normalparabel ist. Diese Begründung lässt sich verallgemeinern, indem man in ihr einfach die Zahl 3 durch die Variable $d$ ersetzt. Es gilt dann $g(x) = f(x-d)$.
   Wenn $d$ eine positive Zahl ist, dann liegt der Wert $x-d$ auf der x-Achse links von (dem größeren) Wert $x$. Damit die Funktionenmaschine $f$ die gleiche y-Koordinate erzeugt wie die Maschine $g$, muss man also in $f$ den kleineren Wert $x-d$ einsetzen, der links von $x$ liegt. Der gesamte Graph von $f$ liegt daher links von dem Graphen von $g$ und es handelt sich bei positivem $d$ um eine Verschiebung nach rechts (in positive x-Richtung).
   Wenn dagegen $d$ eine negative Zahl ist, dann wird in dem Ausdruck $x-d$ eine negative Zahl subtrahiert, also ihre positive Gegenzahl addiert. Der Wert $x-d$ ist dann größer als $x$ und liegt somit auf der x-Achse rechts von $x$. Damit die Funktionenmaschine $f$ die gleiche y-Koordinate erzeugt wie die Maschine $g$, muss man also in $f$ den größeren Wert $x-d$ einsetzen, der rechts von $x$ liegt. Der gesamte Graph von $f$ liegt daher bei negativem $d$ rechts von dem Graphen von $g$ und es handelt sich bei negativem $d$ um eine Verschiebung nach links (in negative x-Richtung).
2. Der Scheitelpunkt der Parabel $f(x) =x^2 +c$ liegt auf der y-Achse. Seine x-Koordinate ist daher gleich Null. Seine y-Koordinate erhält man durch $f(0) =0^2 +c = c$. Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten $(0|c)$.

Zusammenfassung $f(x) =(x-d)^2$

Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung

• Für jede Zahl $d \in \mathbb{R}$ ist der Graph der Funktion $f(x) =(x-d)^2$ eine um den Betrag von $d$ in x-Richtung verschobene Normalparabel.
• Wenn $d$ positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach rechts (in positiver y-Richtung), bei negativem $d$ um eine Verschiebung nach links.
• Der Scheitelpunkt der Parabel $f(x) =(x-d)^2$ besitzt die Koordinaten $(d|0)$.
• Alle Funktionen, deren Graph eine in x-Richtung verschobenen Normalparabel ist, bilden die Funktionenschar $f_d(x) =(x-d)^2$.
• Achtung, Stolperfalle! In dem allgemeinen Funktionsterm $(x-d)^2$ steht hinter dem $x$ ein Minuszeichen. Wenn nun die Zahl $d$ für sich genommen schon eine negative Zahl ist (z.B. $d=-2$), dann stehen in dem Funktionsterm hinter dem $x$ insgesamt zwei Minuszeichen, die zu einem Pluszeichen werden: $f(x) =(x-(-2))^2 = (x+2)^2$.
  Wenn also im Funktionsterm hinter dem $x$ ein Pluszeichen steht und dann eine positive Zahl folgt, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach links, also eine Verschiebung in negativer x-Richtung, weil das Pluszeichen bedeutet, dass von dem $x$ in der Klammer eine negative Zahl subtrahiert wird.

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Parabel mit der Funktionsgleichung $f_d(x) =(x-d)^2$ in x-Richtung verschieben, indem man die Position des Schiebereglers $d$ verändert oder den Scheitelpunkt auf der x-Achse mit der Maus verschiebt.

Normalform und Linearfaktorform und einer quadratischen Funktion

1. Die Schnittpunkte der Parabeln $g$ und $h$ mit den Koordinatenachsen kann man leicht in der Abbildung ermitteln oder aus der Tabelle 2 ablesen. Wie lauten diese Achsen-Schnittpunkte und wie kann man sie auch rein rechnerisch bestimmen?