Benutzer:Ukalina/Funktionen

• Lineare Funktionen

• Quadratische Funktionen

• Polynomfunktionen

Funktionenmaschine

Funktionenmaschine $f(x)=x^2$

Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: $5^2 = 5\cdot 5 = 25$.

Man kann die Arbeitsweise der Funktionenmaschine mithilfe einer Rechenvorschrift beschreiben, die angibt welche Rechenschritte man mit x durchführen muss, um y zu erhalten. Bei der Quadrierfunktion lautet sie z.B. einfach $y = x^2$. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: $f(x) = x^2$. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "$f$") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: $f(5) = 5^2$.

Funktion als "eindeutige Zuordnung"

Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert $x=3$ in die Funktion $f(x) =x^2$, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert $y=9$. Jedem x-Wert wird also eindeutig genau ein y-Wert zugeordnet.
Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein, d.h. es kann mehrere x-Werte geben, denen der gleiche y-Wert zugeordnet wird. So wird z.B. bei der Funktion $f(x) =x^2$ der y-Wert $y=9$ als Funktionswert sowohl dem x-Wert $x=-3$ als auch dem x-Wert $x=3$ zugeordnet, denn $f(-3)=(-3)^2 = 9$ ("Minus mal minus ergibt plus.") und $f(3) = 3^2 = 9$.

Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen

Argument $x$

x-Wert, input der Funktion

Funktionswert $f(x)$

y-Wert, output der Funktion

Funktionsterm $x^2$

Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte

Funktionsgleichung $f(x)=x^2$

Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet

Wertetabelle

Eine weitere Möglichkeit, die Arbeitsweise einer Funktion zu beschreiben, ist die Wertetabelle. Für eine Reihe von x-Werten wird in einer Tabelle jeweils einem x-Wert der y-Wert $f(x)$ gegenübergestellt, der sich aus der Funktionsvorschrift berechnen lässt.

Für die Funktion $f(x)=x^2$ kann man z.B. folgende Wertetabelle aufstellen:

Tabelle 1: $f(x)=x^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	9	4	1	0	1	4	9