Integralrechnung/Ober- und Untersumme

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.

Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!

Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.

Aufgabe 3

Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen.
Gezeigt ist der Graph der Funktion $f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5$ mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].

1. Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U und der Differenz?
2. Variiere jetzt die Anzahl $n$ der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von $n$ die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben?
3. Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl $n$ der Rechtecke.
4. Wie groß müsste $n$ sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von $f$ mehr zu erwarten wäre?

1. Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl $n$ der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.
2. Je größer die Anzahl $n$ der Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von $n$ wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die "übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner wird.
3. Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle!
4. Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von $f$ mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste $n$ unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang $n \to \infty$.

Flächen bestimmen