Beschreibende Statistik/Klassenbildung: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Lernziele:'''
*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.
Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]
Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.  
Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.  


<!-- Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe -->
===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
{|style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen  
|<u>'''Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe'''</u>
|-
| Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen  


: "'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,  
:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,


: "'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,  
:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,


: "'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.
:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.


Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.
Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.
|}
 
<!-- Ende Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe -->
<!-- Ende Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe -->


Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.
Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.


<!-- Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit -->
===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
{|style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen  
|<u>'''Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit'''</u>
 
|-
:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
| Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen  
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
: "'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",  
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,
: "'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
: "'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,


um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.
um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.
|}
 
<!-- Ende Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit -->
<!-- Ende Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit -->


Zeile 36: Zeile 49:
Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen  Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.  
Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen  Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.  


<!-- Beispiel Körpergröße (in cm) -->
===Beispiel Körpergröße (in cm)===
{|style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
|colspan="8" |<u>'''Beispiel Körpergröße (in cm)'''</u>
 
Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):


<!-- Tabelle Körpergröße HHU5 -->
<!-- Tabelle Körpergröße HHU5 -->
<div style="float:left; margin-right:1em;">
<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"  
{| class="wikitable"  
|+ Urliste
|+Urliste
! colspan="5"| Körpergröße in cm
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|-
| 170 || 178 || 174 || 188 || 168
|170||178||174||188||168
|-
|-
| 191 || 169 || 159 || 199 || 200  
|191||169||159||199||200
|-
|-
| 177 || 178 || 200 || 193 || 169  
|177||178||200||193||169
|-
|-
| 151 || 185 || 191 || 165 || 158  
|151||185||191||165||158
|-
|-
| 185 || 188 || 194 || 180 || 170
|185||188||194||180||170
|}
|}
</div>
</div>
<!--  Ende Tabelle Körpergröße HHU5 -->
<!--  Ende Tabelle Körpergröße HHU5 -->
Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):




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Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.
Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.
|-
 
|
==Klasseneinteilung==
<u>'''Klasseneinteilung:'''</u>


Klasse <math>k_1</math>:  
Klasse <math>k_1</math>:  
:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
:: mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>
 
Klasse <math>k_2</math>:  
Klasse <math>k_2</math>:  
: von über 175 cm  bis zu 183 cm einschließlich
 
:: mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>
:von über 175 cm  bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>
 
Klasse <math>k_3</math>:  
Klasse <math>k_3</math>:  
:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
:: mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>


<u>'''Häufigkeitsverteilung bestimmen:'''</u>
===Häufigkeitsverteilung bestimmen===


Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
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{| class="wikitable"  
{| class="wikitable"  
|-
|-
! colspan="5" | Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|-
| <math>k_i</math> || <math>150 < a_i \le 175</math> || <math>175 < a_i \le 183</math> || <math>183 < a_i \le 200</math> || '''Summe'''
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|-
| <math>H(k_i)</math> || <math>10</math> || <math>4</math> || <math>11</math> || <math>25</math>
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|-
| <math>h(k_i)</math> || <math>\frac{2}{5}=40 %</math> || <math>\frac{4}{25}=16 %</math> || <math>\frac{11}{25}=44 %</math> || <math>100 %</math>
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
|}
<!--  Ende Klassierte Tabelle Körpergröße HHU5 -->
</div>
</div>
<!--  Ende Klassierte Tabelle Körpergröße HHU5 -->
 
|-
===Interpretation===
|
<u>'''Interpretation:'''</u>


Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
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Stimmt das denn?
Stimmt das denn?
<br />


Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.
Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.
<br />


<u>'''Klassenbreiten bestimmen:'''</u>
<br />


===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


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{| class="wikitable"  
{| class="wikitable"  
|-
|-
! Klasse <math>k_i</math> !! untere Grenze <math>uG_i</math> !! obere Grenze <math>oG_i</math> !! Klassenbreite <math>b_i</math>
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|-
| <math>k_1</math> || <math>150</math> || <math>175</math> || <math>175-150=25</math>  
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|-
| <math>k_2</math> || <math>175</math> || <math>183</math> || <math>183-175=8</math>  
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|-
| <math>k_3</math> || <math>183</math> || <math>200</math> || <math>200-183=17</math>  
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
|}
</div>
</div>
<!--  Ende Klassenbreiten -->
<!--  Ende Klassenbreiten -->
|-
<br>
|
 
Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.
Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.


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{| class="wikitable"  
{| class="wikitable"  
|-
|-
! colspan="4" | Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|-
! Klasse <math>k_i</math> !! Intervall !! <math>H(k_i)</math> || <math>h(k_i)</math>  
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|-
| <math>k_1</math> || <math>143 < a_i \le 151</math> || <math>1</math> || <math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|-
| <math>k_2</math> || <math>151 < a_i \le 159</math> || <math>2</math> || <math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|-
| <math>k_3</math> || <math>159 < a_i \le 167</math> || <math>1</math> || <math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|-
| <math>k_4</math> || <math>167 < a_i \le 175</math> || <math>6</math> || <math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|-
| <math>k_5</math> || <math>175 < a_i \le 183</math> || <math>4</math> || <math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|-
| <math>k_6</math> || <math>183 < a_i \le 191</math> || <math>6</math> || <math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|-
| <math>k_7</math> || <math>191 < a_i \le 199</math> || <math>3</math> || <math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|-
| <math>k_8</math> || <math>199 < a_i \le 207</math> || <math>2</math> || <math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|-
! colspan="2"| Summe !! <math>25</math> !! <math>100%</math>
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
|}
</div>
</div>
<!--  Ende Klassierte Tabelle Körpergröße HHU5 -->
<!--  Ende Klassierte Tabelle Körpergröße HHU5 -->
|-
<br>
| <u>'''Interpretation''':</u>
 
|-
===Interpretation===
|
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält  man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält  man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.
|}
 
<!-- Beispiel Körpergröße (in cm) -->
<!-- Beispiel Körpergröße (in cm) -->


 
{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}
<!-- Merke Klassen -->
{{Merke-M||1=
Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.
}}
<!-- Ende Merke Klassen -->
<!-- Ende Merke Klassen -->


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:
Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:
*: Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>  
 
*: Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>
*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>


Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."
Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."


Hier geht's weiter zu [[/Klassen mit gleicher Klassenbreite|Klassen mit gleicher Klassenbreite]]
{{Aufgabe|
 
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
 
===== Klassen mit gleicher Klassenbreite =====
Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>
<br />
 
<!-- Fortsetzung 1 Beispiel Körpergröße (in cm) -->
{|style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
|colspan="8" |<u>'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''</u>
 
Im Beispiel ist
:: <math>n=25</math>.
 
Also gilt für die Anzahl der Klassen
:: <math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.
|}
<!-- Ende Fortsetzung 1 Beispiel Körpergröße (in cm) -->
<br />
 
Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />
 
<!-- Fortsetzung 2 Beispiel Körpergröße (in cm) -->
{|style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
|colspan="8" |<u>'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''</u>
 
Im Beispiel ist 
:: <math>x_{max}=200</math>  und
:: <math>x_{min}=151</math> ,
somit gilt für die Spannweite
:: <math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.
|}
<!-- Ende Fortsetzung 2 Beispiel Körpergröße (in cm) -->
<br />
 
Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.
<br />
 
<!-- Fortsetzung 3 Beispiel Körpergröße (in cm) -->
{|style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
|colspan="8" |<u>'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''</u>
 
Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.
|}
<!-- Ende Fortsetzung 3 Beispiel Körpergröße (in cm) -->
<br />
 
Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.
 
Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.
 
Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.
 
Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />
 
<!-- Merke Klassen,Klassenanzahl, Spannweite, Klassenbreite -->
<!-- Merke -->
{{Merke-M||1=
Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.
 
<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>
 
<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>
 
<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>
 
}}
}}
<!-- Ende Merke Klassenanzahl, Spannweite, Klassenbreite -->
<br />
<!-- Fortsetzung 4 Beispiel Körpergröße (in cm) -->
{|style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
|colspan="8" |<u>'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''</u>


Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen  Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<!-- Tabelle Klassierte Körpergröße HHU5 -->
==Übungen==
<div style="float:left; margin-right:1em;">
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
{| class="wikitable"
<div class="zuordnungs-quiz">
{|  
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|-
! colspan="7" | Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|-
| <math>k_i</math>
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|| <math>150 < a_i \le 160</math> || <math>160 < a_i \le 170</math> || <math>170 < a_i \le 180</math> || <math>180 < a_i \le 190</math> || <math>190 < a_i \le 200</math> || Summe
|-
|-
| <math>H(k_i)</math> || 3 || 6 || 5 || 4 || 7 || 25
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|-
| <math>h(k_i)</math> || 12 % || 24 % || 20 % || 16 % || 28 % || 100 %
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|}
</div>
<!--  Ende Klassierte Tabelle Körpergröße HHU5 -->
|-
|-
| colspan="7"|
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
 
Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.
|}
<!-- Ende Fortsetzung 4 Beispiel Körpergröße (in cm) -->
 
 
 
<!-- Einführungsbeispiel - Teil 6 -->
[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]
{|style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
|colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 6.1'''<br /></u>
 
Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.
 
<!-- Tabelle Berechnung der notwendigen Größen -->
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" | Größe !! style="text-align:left;" | Formel !! style="text-align:left;" | im Beispiel mit !! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
| Klassenanzahl || <math>k \approx</math> \sqrt{n}</math> || <math>n=30</math> || <math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
| Spannweite || <math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math> || <math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math> || <math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
| Klassenbreite || <math>b=\frac{R}{k}</math> || <math>R=71</math> und <math>k=6</math> || <math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
|}
</div>
</div>
<!-- Ende Tabelle Berechnung der notwendigen Größen -->
|-
|colspan="6" |Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':


Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.


Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.
{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.


Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:
Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
:: <math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
}}
:: <math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>
|}
 
<br />
<br />
 
<br />
<br />
<br />
<br />
 
 
<!-- Einführungsbeispiel - Teil 6.2 -->
{|style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
|colspan="6" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 6.2'''<br /></u>
 
Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:
 
<!-- Tabelle Klassenbildung 1 -->
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3"| Klassen !! colspan="3"| Häufigkeiten
|-
| '''Klasse <math>k_i</math>'''|| '''über ... Jahre''' || '''bis zu ... Jahre''' || '''<math>H(k_i)</math>''' || '''<math>h(k_i)</math>''' || '''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math> || <math>0</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>\frac{1}{6}</math> ||  <math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math> || <math>13</math> || <math>26</math> || <math>11</math> || <math>\frac{11}{30}</math> || <math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math> || <math>26</math> || <math>39</math> || <math>4</math> || <math>\frac{2}{15}</math> || <math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math> || <math>39</math> || <math>52</math> || <math>4</math> || <math>\frac{2}{15}</math> || <math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math> || <math>52</math> || <math>65</math> || <math>3</math> || <math>\frac{1}{10}</math> || <math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math> || <math>65</math> || <math>78</math> || <math>3</math> || <math>\frac{1}{10}</math> || <math>10,0%</math>
|-
! colspan="3"| Summe || align=left |<math>100</math> || align=left |<math>1</math> || align=left|<math>100%</math>
|}
</div>
<!-- Ende Tabelle Klassenbildung 1 -->
|-
| colspan="6"| '''Interpretation'''
 
Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.
 
'''Ausblick'''
 
Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.
 
Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.
 
 
<!-- Tabelle Klassenbildung 2 -->
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3"| Klassen !! colspan="3"| Häufigkeiten
|-
| '''Klasse <math>k_i</math>'''|| '''über ... Jahre''' || '''bis zu ... Jahre''' || '''<math>H(k_i)</math>''' || '''<math>h(k_i)</math>''' || '''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math> || <math>0</math> || <math>10</math> || <math>2</math> || <math>\frac{1}{6}</math> ||  <math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math> || <math>10</math> || <math>20</math> || <math>10</math> || <math>\frac{1}{3}</math> || <math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math> || <math>20</math> || <math>30</math> || <math>4</math> || <math>\frac{2}{15}</math> || <math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math> || <math>30</math> || <math>40</math> || <math>5</math> || <math>\frac{1}{6}</math> || <math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math> || <math>40</math> || <math>50</math> || <math>2</math> || <math>\frac{1}{15}</math> || <math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math> || <math>50</math> || <math>60</math> || <math>3</math> || <math>\frac{1}{10}</math> || <math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math> || <math>60</math> || <math>70</math> || <math>3</math> || <math>\frac{1}{10}</math> || <math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math> || <math>70</math> || <math>80</math> || <math>1</math> || <math>\frac{1}{30}</math> || <math>3,3%</math>
|-
! colspan="3"| Summe || align=left |<math>100</math> || align=left |<math>1</math> || align=left|<math>100%</math>
|}
</div>
<!-- Ende Tabelle Klassenbildung 2 -->
|}
<!--  Ende Einführungsbeispiel - Teil 6 -->
 
===== Klassen mit beliebiger Klassenbreite =====
<!-- Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm) -->
{|style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
|colspan="8" |<u>'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''</u>
 
Nehmen wir nun an, wir wollen jemanden davon überzeugen, dass weniger als ein Viertel aller Schüler dieser Klasse besonders groß sind. Zunächst legen wir fest, was besonders groß bedeuten soll. Unsere Tabelle können wir entnehmen, dass mehr als ein Viertel aller Schüler 191 cm oder größer sind. Somit müssen wir einen Wert über 191 cm wählen und entscheiden uns für 195 cm. Um den Leser zu überzeugen, wählen wir nur zwei Klassen, alle Schüler kleiner als 195 und alle Schüler größer oder gleich 195. Unsere Tabelle bekommt dann folgendes Aussehen:
 
<!-- Tabelle ungleiche Klassenbreiten Körpergröße HHU5 -->
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" | Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013 bei unterschiedlicher Klassenbreite
|-
| <math>k_i</math> || <math>150 < a_i \le 195</math>  || <math>195 < a_i \le 200</math> || '''Summe'''
|-
| <math>H(k_i)</math> || <math>22</math> || <math>3</math> || <math>1</math>
|-
| <math>h(k_i)</math> || <math>88 %</math> || <math>12 %</math> || <math>100 %</math>
|}
</div>
<!--  Ende ungleiche Klassenbreiten Tabelle Körpergröße HHU5 -->
 
Und so glaubt der geneigte Leser sofort, dass es sich um eine körperlich recht kleine Klasse handelt, da nicht mal ein Achtel aller Schüler größer oder gleich 195 cm sind. Die Aussage wird durch geschickte Wahl der Größe und einer passenden Klassenbildung unterstützt.
|}
 
Und noch einmal die Eisdiele "Rabe":
<!-- Einführungsbeispiel - Teil 7 -->
{|style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
|colspan="6" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 7'''<br /></u>
 
Auch bei der Auswertung des Merkmals Alter kann man mit unterschiedlich großen Klassenbreiten arbeiten und versuchen zu interessanten Aussagen zu gelangen.
 
Wählt man beispielsweise nur zwei Klassen, die erste von 0 - 30 Jahre, die zweite von 30 - 80 Jahre, so erhält man:
 
<!-- Tabelle Klassenbildung 1 -->
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3"| Klassen !! colspan="3"| Häufigkeiten
|-
| '''Klasse <math>k_i</math>'''|| '''über ... Jahre''' || '''bis zu ... Jahre''' || '''<math>H(k_i)</math>''' || '''<math>h(k_i)</math>''' || '''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math> || <math>0</math> || <math>30</math> || <math>16</math> || <math>\frac{8}{15}</math> ||  <math>53,3%</math>
|-
|<math>k_2</math> || <math>30</math> || <math>80</math> || <math>14</math> || <math>\frac{7}{15}</math> || <math>46,7%</math>
|-
! colspan="3"| Summe || align=left |<math>100</math> || align=left |<math>1</math> || align=left|<math>100%</math>
|}
</div>
<!-- Ende Tabelle Klassenbildung 1 -->
|-
| colspan="6"| '''Interpretation'''
 
Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sei die Eisdiele bei jeder Altersgruppe gleich beliebt. Dies ist jedoch nicht so, wie man im Abschnitt Klassen mit gleicher Klassenbreite gut sehen konnte.
 
'''Noch ein Versuch:'''


Diesmal wählt man drei Klassen und erhält:
{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?


<!-- Tabelle Klassenbildung 2 -->
Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]] &nbsp; [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3"| Klassen !! colspan="3"| Häufigkeiten
|-
| '''Klasse <math>k_i</math>'''|| '''über ... Jahre''' || '''bis zu ... Jahre''' || '''<math>H(k_i)</math>''' || '''<math>h(k_i)</math>''' || '''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math> || <math>0</math> || <math>15</math> || <math>7</math> || <math>\frac{7}{30}</math> ||  <math>23,3%</math>
|-
|<math>k_2</math> || <math>15</math> || <math>30</math> || <math>9</math> || <math>\frac{3}{10}</math> || <math>30%</math>
|-
|<math>k_3</math> || <math>30</math> || <math>80</math> || <math>14</math> || <math>\frac{7}{15}</math> || <math>46,7%</math>
|-
! colspan="3"| Summe || align=left |<math>100</math> || align=left |<math>1</math> || align=left|<math>100%</math>
|}
</div>
<!-- Ende Tabelle Klassenbildung 2 -->
|-
| colspan="6"| '''Interpretation'''
 
Hier könnte man auf den ersten Blick folgern, dass die Eisdiele "Rabe" gerade beim älteren Publikum besonders angesagt ist.
|}
<!--  Ende Einführungsbeispiel - Teil 7 -->
 
Bleiben noch zwei Hinweise, die man beachten sollte:
 
<!-- Merke Klassen -->
{{Merke-M||1=
Bei Klassen mit unterschiedlichen Breiten ist jeder Klasse <math>k_i</math> ihre Breite <math>b_i</math> zuzuordnen
 
Vorsicht bei Statistiken mit unterschiedlich breiten Klassen. Hier weiß man nie, was der Autor verstecken will.
}}
}}
<!-- Ende Merke Klassen -->
Hier geht's weiter [[../Übungen Klassierte Daten|Übungen Klassenbildung]]


{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}


[[../|zurück zu Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]
{{Beschreibende Statistik}}

Aktuelle Version vom 14. Oktober 2022, 06:29 Uhr

Lernziele:

  • Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
    • Klassenanzahl,
    • Spannweite und
    • Klassenbreite.
  • Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
  • Sie können
    • Klassenanzahlen,
    • die Spannweite und
    • Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
  • Sie kennen den Unterschied zwischen
    • Klassen mit gleicher Klassenbreite und
    • Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
  • Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen Pfeil 2.gif   Übungen

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe

Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

"gelb" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,
"blau" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,
"Andere" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.


Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit

Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

"Leistungsträger" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
"Mittelfeld" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
"Blauer Brief" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.


Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

Beispiel Körpergröße (in cm)

Urliste
Körpergröße in cm
170 178 174 188 168
191 169 159 199 200
177 178 200 193 169
151 185 191 165 158
185 188 194 180 170

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):


Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

Klasseneinteilung

Klasse :

vom kleinsten Wert (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
mathematische Kurzschreibweise:

Klasse :

von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
mathematische Kurzschreibweise:

Klasse :

von über 183 cm bis zum größten Wert (hier 200 cm) einschließlich
mathematische Kurzschreibweise:

Häufigkeitsverteilung bestimmen

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit zu jeder Klasse bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse liegen. Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit zu jeder Klasse bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang , die im Intervall der Klasse liegen, berechnet.

Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
Summe
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{2}{5}=40 %} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{4}{25}=16 %} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{11}{25}=44 %} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100 %}

Interpretation

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.



Klassenbreiten bestimmen

Die gewählten Klassen sind unterschiedlich breit. Die Breite einer Klasse errechnet man, indem man die untere Grenze von der oberen Grenze subtrahiert.

Klasse untere Grenze obere Grenze Klassenbreite


Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
Klasse Intervall
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{1}{25}=4 %}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{2}{25}=8 %}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{1}{25}=4 %}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{6}{25}=24 %}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{4}{25}=16 %}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{6}{25}=24 %}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{3}{25}=12 %}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{2}{25}=8 %}
Summe Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%}


Interpretation

Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.


Merke
Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte Klassen der (Klassen-)Breite zusammenzufassen.

Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

  • Klassen mit gleicher Klassenbreite
    Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

Aufgabe

Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.

Klassen mit gleicher Klassenbreite

Übungen

Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.

Klassen haben eine obere Grenze haben eine untere Grenze
Klassenbreite Spannweite geteilt durch Klassenanzahl
Spannweite Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
Klassenanzahl Wurzel aus dem Stichprobenumfang
größte Merkmalsausprägung
kleinste Merkmalsausprägung


Aufgabe

Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]: 

52,5;	51,7;	52,3;	50,9;	48,8;	51,4;	48,3;
52,2;	51,4;	50,7;	50,8;	52,0;	48,4;	50,0;
51,4;	49,1;	47,5;	51,5;	48,7;	51,3;	47,9;
49,5;	49,9;	50,1;	50,2;	52,4;	52,0;	50,1;
49,9;	51,9;	48,7;	51,4;	52,4;	47,9;	51,0;
48,9;	50,2;	48,0;	51,5;	49,8;	49,1;	48,4;
51,7;	51,1;	51,2;	51,5;	48,3;	51,5;	51,1

Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.

Aufgabe

Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. Pfeil 2.gif   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]

Klassen mit gleicher Klassenbreite


Estatística ícone.svg

Lernpfad Beschreibende Statistik

  1. Grundbegriffe
  2. Graphische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen
  3. Lagemaße
    (arithmetisches Mittel, Modus, Median)
  4. Streuungsmaße
    (mittlere absolute Abweichung, mittlere quadratische Abweichung, Standardabweichung)
  5. Einsatz des Taschenrechners
    (Bedienung Casio fx-991DE PLUS)
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