Chaos und Fraktale: Unterschied zwischen den Versionen
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Dieses Themengebiet wurde für den '''Mathe-Tag''' an der '''Universität Würzburg''' ausgearbeitet. Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). | |||
* Kurs 1:''' Chaotische Bäume interaktiv | |||
* Kurs 2:''' Drachenfalten einmal anders {{pdf|Drachenfalten_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter}} und {{pdf|Drachenfalten_Lösung.pdf|Lösungen}} | |||
* Kurs 3''' Dreimal Sierpinski {{pdf|Sierpinski_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter}} {{pdf|Sierpinski_Lösung.pdf|Lösungen}} | |||
Informiere dich [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/ | |||
Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet. | |||
'''Hinweis:''' Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Link klickst. | |||
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=Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv= | |||
Informiere dich [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/ hier] über die Begriffe Chaos und Fraktale. | |||
Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen. | Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen. | ||
'''Beispiele:''' | |||
Öffne das folgenes [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html | |||
* Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus? | *Zoomfahrt in eine Mandelbrot-Menge als [http://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom1024x768.avi Avi-Video] oder als [http://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge#Bildergalerie_einer_Zoomfahrt Bildergalerie] | ||
* Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden? | *Der [http://de.wikipedia.org/wiki/Romanesco Romanesco-Kohlkopf] ist hoch-fraktal. | ||
* Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht. | |||
*Woher kommt der Name [[Pythagorasbaum]]? | |||
==Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel== | |||
Öffne das folgenes [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html Applet] in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge: | |||
*Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus? | |||
*Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden? | |||
*Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht. | |||
*Woher kommt der Name [[Mathematik-digital/Pythagorasbaum|Pythagorasbaum]]? | |||
==Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel== | |||
Verändere nun in dem [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html Applet] auch den Winkel: | |||
*Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht? | *Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht? | ||
*Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch? | *Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch? | ||
*Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°? | *Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°? | ||
===Spielen im pythagoräischen Garten === | |||
===Spielen im pythagoräischen Garten=== | |||
Durch ziehen am roten Punkt dieses [http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytree/pytree.html Applets] kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli? | Durch ziehen am roten Punkt dieses [http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytree/pytree.html Applets] kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli? | ||
==Farne== | |||
[[bild:Farn.jpg|Farn|left]] | [[bild:Farn.jpg|Farn|left]] | ||
Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.<br> | Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.<br> | ||
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==Weitere Informationen== | |||
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/PythagorasbaumApplet.html Bunter Baum] | *[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/PythagorasbaumApplet.html Bunter Baum] | ||
*[http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/pythagorasfraktal.htm Phythagoras-Baum FH Friedeberg] | *[http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/pythagorasfraktal.htm Phythagoras-Baum FH Friedeberg] | ||
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*[http://www.pk-applets.de/fra/folgen/folge3.html Weitere Farne] | *[http://www.pk-applets.de/fra/folgen/folge3.html Weitere Farne] | ||
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Pythagoras_Baum.html Applet] | *[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Pythagoras_Baum.html Applet] | ||
*[http://www.mathe-knapp.de/Applet-Galerie/Bunter%20Pythagorasbaum.html Applet 90°, 3 variable Punkte] | |||
*[http://md-martin.de/schule/informatik/Applets/Applets/Igel/PythagorasBaum.html Applet, Länge, Winkel variabel] | |||
Anwendungen<br> | Anwendungen<br> | ||
*[http://www.quarks.de/dyn/3955.phtml Chaos und Verkehr] | *[http://www.quarks.de/dyn/3955.phtml Chaos und Verkehr] | ||
*[http://www.quarks.de/dyn/3882.phtml Chaos und Wetter] | *[http://www.quarks.de/dyn/3882.phtml Chaos und Wetter] | ||
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*[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node5.htm Operationen am Farnblatt] | *[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node5.htm Operationen am Farnblatt] | ||
=Kurs 2: Drachenfalten einmal anders= | |||
'''Arbeitsblätter mit Lösungen''' | |||
*{{pdf|Drachenfalten_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 2}} | |||
*{{pdf|Drachenfalten_Lösung.pdf|Lösung}} | |||
'''Weitere Links''' | |||
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/entw/entw.htm Animation bis Stufe 4] | *[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/entw/entw.htm Animation bis Stufe 4] | ||
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/stuf/dr01.htm Farbiges Applet bis Stufe 14] | *[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/stuf/dr01.htm Farbiges Applet bis Stufe 14] | ||
*[http://did.mat.uni-bayreuth.de/~alfred/Dragon/d1.html Applet] | *[http://did.mat.uni-bayreuth.de/~alfred/Dragon/d1.html Applet] | ||
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra15.gif Stufen 1 - 5] | *[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra15.gif Stufen 1 - 5] | ||
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra67.gif Stufe 6 und 7] | *[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra67.gif Stufe 6 und 7] | ||
=Kurs 3: Dreimal Sierpinski= | |||
'''Arbeitsblätter mit Lösungen''' | |||
*{{pdf|Sierpinski_Mathetag.pdf|Arbeitsblätter zu Kurs 3}} | |||
*{{pdf|Sierpinski_Lösung.pdf|Lösung}} | |||
'''Weitere Links''' | |||
*[http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/sierpinski_dreieck.html Sierpinski Dreieck, Eckpunkte variierbar, bis Stufe 6] | *[http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/sierpinski_dreieck.html Sierpinski Dreieck, Eckpunkte variierbar, bis Stufe 6] | ||
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Sierpinski_Dreieck.html Sierpinski Dreieck Stufen unbegrenzt] | *[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Sierpinski_Dreieck.html Sierpinski Dreieck Stufen unbegrenzt] | ||
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*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/sierpinski.htm noch mehr Sierpinski] | *[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/sierpinski.htm noch mehr Sierpinski] | ||
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/pascal.htm Pascal und Sierpinski] | *[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/pascal.htm Pascal und Sierpinski] | ||
Diese Seite entstand unter Mitwirkung von | |||
*[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]] | |||
*[[Benutzer:Andrea Schellmann|Andrea Schellmann]] | |||
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[[Kategorie:Fraktale|!]] | |||
[[Kategorie:Mathematik]] | |||
[[Kategorie:Geometrie]] | |||
Aktuelle Version vom 7. Mai 2022, 10:44 Uhr
Lernpfad
Dieses Themengebiet wurde für den Mathe-Tag an der Universität Würzburg ausgearbeitet. Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde).
- Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv
- Kurs 2: Drachenfalten einmal anders
Arbeitsblätter und Lösungen - Kurs 3 Dreimal Sierpinski Arbeitsblätter Lösungen
Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
Hinweis: Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Link klickst.
Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv
Informiere dich hier über die Begriffe Chaos und Fraktale.
Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.
Beispiele:
- Zoomfahrt in eine Mandelbrot-Menge als Avi-Video oder als Bildergalerie
- Der Romanesco-Kohlkopf ist hoch-fraktal.
Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel
Öffne das folgenes Applet in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:
- Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
- Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
- Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
- Woher kommt der Name Pythagorasbaum?
Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel
Verändere nun in dem Applet auch den Winkel:
- Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
- Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
- Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?
Spielen im pythagoräischen Garten
Durch ziehen am roten Punkt dieses Applets kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?
Farne
Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes Applet.
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken.
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.
Weitere Informationen
- Bunter Baum
- Phythagoras-Baum FH Friedeberg
- Applet bis Stufe 12
- Weitere Farne
- Applet
- Applet 90°, 3 variable Punkte
- Applet, Länge, Winkel variabel
Anwendungen
- Chaos und Verkehr
- Chaos und Wetter
- Lebendiges Chaos
- Ordnung im Chaos (Küstenlinien, Börsenkurse, Apfelmännchen)
- Operationen am Farnblatt
Kurs 2: Drachenfalten einmal anders
Arbeitsblätter mit Lösungen
Weitere Links
Kurs 3: Dreimal Sierpinski
Arbeitsblätter mit Lösungen
Weitere Links
- Sierpinski Dreieck, Eckpunkte variierbar, bis Stufe 6
- Sierpinski Dreieck Stufen unbegrenzt
- Pascalsches Dreieck
- noch mehr Sierpinski
- Pascal und Sierpinski
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