Integralrechnung/Flächeninhaltsfunktion

Integralrechnung

1. Vorüberlegungen
2. Ober- und Untersumme
3. Flächen bestimmen
4. Bestimmtes Integral
5. Flächeninhaltsfunktion
6. Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion
7. Stammfunktion
8. Aufgaben
9. Hauptsatz
10. Integrationsregeln
11. Aufgaben II

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Die Flächeninhaltsfunktion $F(x)$

Zuletzt hast Du gesehen, dass die Berechnung des bestimmten Integrals von Hand sehr aufwendig und umständlich ist. Wünschenswert wäre es also, wenn es eine einfachere Lösung des Problems gäbe.

Um eine einfachere und bessere Lösung zu finden, kannst Du unten wieder ein Geogebra-Applet benutzen.

Neben dem Graphen der Funktion $f(x)=x^2$ ist das bestimmte Integral dieser Funktion im Intervall $[a; b]$ abgebildet. Über der oberen Intervallgrenze $b$ ist der Wert des bestimmten Integrals als Zahl und Funktionswert abgebildet.

Aufgabe 6

1. Verschiebe die obere Intervallgrenze mit der Maus. Der Funktionswert (also das bestimmte Integral) wird dabei ebenfalls ständig neu berechnet und eingezeichnet. Es entsteht der Graph einer neuen Funktion, der Flächeninhaltsfunktion $F(x)$.
2. Versuche, die Funktionsvorschrift von $F(x)$ zu bestimmen. Zum einfacheren Ablesen der Punkte auf dem Graphen sind deren Koordinaten $b$ und $F$ angegeben.

$F(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3$.

An der Gestalt der Flächeninhaltsfunktion erkennt man, dass es eine Funktion 3. Grades ist (vgl. Jahrgangsstufe 11). Z.B. am Punkt (3;9) kann man erkennen, dass der Vorfaktor $\frac{1}{3}$ ist.

Aufgabe 7

Ermittle im unteren Applet den Zusammenhang zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und den Funktionswerten der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. Stelle dazu eine Formel bzw. eine Gleichung auf, mit der der Wert des bestimmten Integrals berechnet werden kann!

Der Wert des bestimmten Integrals entspricht immer der Differenz der Funktionswerte der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen.

$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$

Damit hast Du gezeigt, dass das bestimmte Integral einer Funktion $f(x)$ in den Grenzen $a$ und $b$ mit Hilfe einer Flächeninhaltsfunktion $F(x)$ und deren Funktionswerten an diesen Intervallgrenzen berechnet werden kann. Somit stellt sich jetzt nur noch die entscheidende Frage: Wie bestimmt man im Allgemeinen eine Flächeninhaltsfunktion?

Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion