Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden

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Lernschritt Parabeln und Geraden

1. Aufgabe -Schnittpunkte von Parabel und Gerade

QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel $g(x) =x^2 -4x$ und Gerade $h(x) =2x -5$

QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel $f(x) =x^2 -6x +5$

In der Abbildung QF08 Abbildung 1 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $h(x) =2x -5$ (als gestrichelte Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen in den Punkten $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$ schneiden.

1. Bestimme die Schnittpunkte beider Graphen rechnerisch.
2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +5$ (QF05 Abbildung 1)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = h(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -5$    | $-2x +5$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +5 = 0$    | pq-Formel anwenden
$\Rightarrow x_1 = 1$ und $x_2 = 5$
Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung $h(x)$, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in $g(x)$ zur Kontrolle):
$h(1) = 2 \cdot 1 -5 = -3$
$g(1) = 1^2 -4\cdot 1 = -3$
$h(5) = 2 \cdot 5 -5 = 5$
$g(5) = 5^2 -4\cdot 5 = 5$
Schnittpunkte von $g$ und $h$: $S_1(1|-3)$ und $S_2(5|5)$

2.
Die Berechnung der Schnittpunkte von $g$ und $h$ führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von $f(x) =x^2 -6x +5$ zu lösen ist. Die Schnittstellen von $g$ und $h$ sind also die Nullstellen der Parabel $f$.

2. Aufgabe -Schnittpunkt von Parabel und Tangente

QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf
Parabel $g(x) =x^2 -4x$ und Gerade $t(x) =2x -9$

QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf
Parabel $f(x) =(x-3)^2$

In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel $g(x) =x^2 -4x$ (als durchgezogene Linie) und die Gerade $t(x) =2x -9$ (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt $S(3|-3)$ berühren, die Gerade $t$ also eine Tangente der Parabel ist.

1. Bestätige rechnerisch, dass es sich bei der Geraden $t$ tatsächlich um eine Tangente an die Parabel $g$ handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten $S(3|-3)$ besitzt.
2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel $f(x) =x^2 -6x +9$ (QF08 Abbildung 3)?

Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.
$g(x) = t(x)$
$\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -9$    | $-2x +9$
$\Leftrightarrow x^2 -6x +9 = 0$    | 2. binomische Formel anwenden
$\Leftrightarrow (x-3)^2 = 0$    | (doppelte) Nullstelle ablesen
$\Rightarrow x_1 = x_2 = 3$
Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung $t(x)$, um die y-Koordinaten des Berührpunktes zu bestimmen (in $g(x)$ zur Kontrolle):
$t(3) = -2 \cdot 3 -9 = - 3$
$g(3) = 3^2 -4\cdot 3 = -3$
Berührpunkt von $g$ und $t$: $S(3|-3)$

2.
Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von $g$ und $t$ führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von $f(x) =x^2 -6x +9 = (x -3)^2$ zu lösen ist. Die Berührstelle von $g$ und $t$ ist also die (einzige) Nullstelle der Parabel $f$.

3. Aufgabe -Schnittpunktberechnung üben

Gegeben sind eine quadratische Funktion $f$ und eine lineare Funktion $g$. Berechne die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.

1. $f(x) =x^2$ ;    $g(x) = x +2$
2. $f(x) = x^2 -3x +9$ ;    $g(x) = 2x +3$
3. $f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5$ ;    $g(x) =0,5x -3$
4. $f(x) =2x^2 +2x +1$ ;    $g(x) =-2x -1$
5. $f(x) =-0,5x^2 +6x$ ;    $g(x) =0,5x +12$

1. $S_1(-1|1)$) ;    $S_2(2|4)$
2. $S_1(2| 7)$  ;    $S_2(3|9)$
3. $S_1(1|-2,5)$ ;    $S_2(3|-1,5)$
4. $S(-1|1)$
5. $S_1(3|13,5)$  ;    $S_2(8|16)$

4. Aufgabe - Schnittpunkte zweier Parabeln

Gegeben sind eine zwei quadratische Funktionen $f$ und $g$. Berechne die Schnittpunkte beider Parabeln.

1. $f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5$ ;    $g(x) =-0,5x^2 -x +1,5$
2. $f(x) =x^2 -5x +9$ ;    $g(x) =2x^2 -x -12$
3. $f(x) =2x^2$ ;    $g(x) =-4x^2$

1. $S_1(-1,5|1,875)$) ;    $S_2(2|-2,5)$
2. $S_1(-7|93)$  ;    $S_2(3|3)$
3. $S (0|0)$

Eine Gerade mit der Funktionsgleichung $g(x) =mx + n$ besitzt in jedem Punkt den gleichen Steigungsfaktor $m$, ist also überall "gleich steil". Eine Normalparabel wird dagegen immer steiler, je weiter man sich auf ihr vom Scheitelpunkt entfernt. Bei ihr ändert sich die Steigung kontinuierlich von Punkt zu Punkt.

Es stellt sich die Frage, wie man eine solche Steigung berechnen kann. Mithilfe der Differentialrechnung ist das für eine große Anzahl von Funktionen möglich. Für eine Parabel der Form $f(x) =a x^2$ geht das aber auch ohne Differentialrechnung mithilfe der pq-Formel.

Steigung einer Parabel

• Für einen gekrümmten Graphen - wie z.B. eine Parabel - definiert man die Steigung in einem bestimmten Punkt $T$ als "Steigung der Tangente in diesem Punkt".
• Bei einer Parabel $f(x) =a x^2$ mit $a \not= 0$ besitzt die Tangente im Punkt $T(x_t|ax_t^2)$ die Funktionsgleichung $t(x) = 2ax_t \cdot x -a x_t^2$.
• Die Steigung der Parabel im Punkt $T$ ist dementsprechend $m = 2ax_t$.

In der folgenden Aufgabe geht es darum, die Tangentengleichung einer Parabel herzuleiten und anzuwenden.

5. Aufgabe - Parabel und Tangente

1. Gegeben ist die Gerade $t(x) = mx + n$, die Parabel $f(x) =ax^2$ mit $a \not= 0$ im Punkt $T(x_t|y_t)$ als Tangente berührt. Zeige, dass die Tangente die Funktionsgleichung $t(x) = 2ax_t \cdot x -a x_t^2$ besitzt.
2. Bestimme mithilfe dieser Tangentengleichung die Gleichung derjenigen Tangente $t_1$, die die Normalparabel im Punkt $T_1(1|1)$ als Tangente berührt.
   Zeige, dass man dieses Ergebnis auch erhält, wenn man die Parabel $g(x) = x^2 -4x$ aus der 2. Aufgabe zu der Normalparabel $f(x) = x^2$ verschiebt und diese Verschiebung auch auf die Tangente $t(x) =2x -9$ und den Berührpunkt aus der 2. Aufgabe anwendet.
3. Berechne die Steigung der Normalparabel in den Punkten $T_2(2|4)$ und $T_{-2}(-2|4)$.

Durch Gleichsetzen der Funktionsterme $f(x) =ax^2$ und $t(x) = mx +n$ entsteht eine quadratische Gleichung. Da sich die Graphen nur in einem einzigen Punkt berühren, hat diese Gleichung auch nur eine einzige Lösung. Was bedeutet das für die Diskriminante?

Lösung zu 1.

Gegeben: $f(x) = a x^2$   und   $t(x) = m x +n$
Ansatz: $f(x) = t(x)$

$a x^2 = m x +n$
$\Leftrightarrow a x^2 - mx -n =0$     | durch $a$ dividieren, um pq-Formel anwenden zu können
$\Leftrightarrow x^2 - \frac{m}{a} \cdot x -\frac{n}{a} = 0$

Für die x-Koordinate des Berührpunktes liefert die pq-Formel genau eine Lösung. Dabei ist die Diskriminante $D = 0$.
$x_t = -\frac{1}{2} \cdot (- \frac{m}{a}) \pm \sqrt{\;0\;}$
$\Rightarrow x_t = \frac{m}{2a}$
$\Rightarrow \boldsymbol{m = 2 a x_t}$

Für die x-Koordinate des Berührpunktes gilt:
$t(x_t) = f(x_t)$
$\Leftrightarrow m \cdot x_t + n = a x_t^2$
$\Leftrightarrow 2 a x_t^2 + n = a x_t^2$
$\Rightarrow \boldsymbol{n = - a x_t^2}$

Gleichung der Tangente $t$ im Punkt $T(x_t|y_t)$:

$\boldsymbol{t(x) =2 a x_t \cdot x - a x_t^2}$

Lösung zu 2.

Für $x_t = 1$ und $a = 1$ gilt:
$m = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$
$n = - 1 \cdot 1^2 = -1$
$t_1(x) = 2x -1$

Oder mit Verschiebung:

$g(x) = x^2 -4x$ aus der 2. Aufgabe in Scheitelform umwandeln:
$g(x) = x^2 -4x +4 - 4$
$= (x -2)^2 -4$
Scheitelpunkt von $g$   :   $S_g(2|-4)$

Verschiebung "zurück" zur Normalparabel: um 2 nach links und 4 nach oben:
$f(x) = g(x-2) +4$ $= (x+2)^2 -4(x+2) + 4$ $= x^2 +4x +4 -4x -8 +4$ $= x^2$

Diese Verschiebung auf die Tangente $t(x) = 2x -9$ und den Berührpunkt $T(3|-3)$ aus der 2. Aufgabe anwenden:

$t_1(x) = t(x+2) +4$ $= 2(x+2) -9 +4$ $= 2x +4 -5$ $= 2x -1$
$T_1 (3-2|-3+4) = T_1(1|1)$

Lösung zu 3.

Steigung der Normalparabel im Punkt $T_2(2|4)$:&bsp; $m = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$

Steigung der Normalparabel im Punkt $T_{-2}(2|4)$:&bsp; $m = 2 \cdot 1 \cdot (-2) = -4$

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Ergebnisse der 5. Aufgabe überprüfen. Man kann mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler $x_t$ verändern.

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