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Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box
{{Box
|1=1. Aufgabe - Funktionsgleichung aus Graph bestimmen
|1=1. Aufgabe -Schnittpunkte von Parabel und Gerade
|2=[[Datei:QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|QF08 Abbildung 1 <br /><math>g(x) =x^2 -4x </math> und <math>h(x) =2x -5</math>]]
|2=<div style="float:right; margin-left:20px >
[[Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|right|QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf]]
{{2Spalten|[[Datei:QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|350px|QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf<br />Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> und Gerade <math>h(x) =2x -5</math>]]  
In der Abbildung "QF05 Abbildung 1" ist eine Parabel <math>f</math> dargestellt, die durch Verschiebung der Normalparabel im Koordinatensystem sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung entstanden ist.  
|
# Ermittle anhand der Abbildung die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel <math>f</math>.
[[Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|350px|QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf<br />Parabel <math>f(x) =x^2 -6x +5</math>]]  
# Gib an, um wieviele Einheiten und in welche Richtungen die Normalparabel verschoben wurde.
}} </div>
# Gib die Funktionsgleichung der Parabel <math>f</math> an.  
In der Abbildung QF08 Abbildung 1 sind die Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> (als durchgezogene Linie) und die Gerade <math>h(x) =2x -5</math> (als gestrichelte Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen in den Punkten <math>S_1(1|-3) </math> und <math>S_2(5|5) </math> schneiden.
# Bestimme die Schnittpunkte beider Graphen ''rechnerisch''.
# Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel <math>f(x) =x^2 -6x +5</math> (QF05 Abbildung 1)?
 
{{Lösung versteckt
|1=Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.
|2=Tipp anzeigen
|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt
|1=1. <br />
<math>g(x) = h(x) </math> <br />
<math>\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -5 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  <math> -2x +5 </math> <br />
<math>\Leftrightarrow x^2 -6x +5 = 0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  pq-Formel anwenden <br />
<math>\Rightarrow x_1 = 1 </math> und <math> x_2 = 5 </math> <br />
Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung <math>h(x)</math>, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in <math>g(x)</math> zur Kontrolle): <br />
<math> h(1) = 2 \cdot 1 -5 = -3 </math> <br />
<math> g(1) = 1^2 -4\cdot 1  = -3 </math>  <br />
<math> h(5) = 2 \cdot 5 -5 = 5 </math>  <br />
<math> g(5) = 5^2 -4\cdot 5  = 5 </math> <br />
Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>h</math>:  <math>S_1(1|-3)</math> und <math>S_2(5|5)</math><br />
2. <br />Die Berechnung der Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>h</math> führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von <math>f(x) =x^2 -6x +5</math> zu lösen ist. Die ''Schnittstellen'' von <math>g</math> und <math>h</math> sind also die ''Nullstellen'' der Parabel <math>f</math>.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}} <!-- 1. Aufgabe -->
 
{{Box
|1=2. Aufgabe -Schnittpunkt von Parabel und Tangente
|2=<div style="float:right; margin-left:20px >
{{2Spalten|
[[Datei:QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf|mini|350px|QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf<br />Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> und Gerade <math>t(x) =2x -9</math>]]
|
[[Datei:QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf|mini|350px|QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf<br />Parabel <math>f(x) =(x-3)^2</math>]]
}} </div>
In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> (als durchgezogene Linie) und die Gerade <math>t(x) =2x -9</math> (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt <math>S(3|-3) </math> berühren, die Gerade <math>t</math> also eine ''Tangente'' der Parabel ist.  
# Bestätige ''rechnerisch'', dass es sich bei der Geraden <math>t</math> tatsächlich um eine Tangente an die  Parabel <math>g</math> handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten <math>S(3|-3) </math> besitzt.
# Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel <math>f(x) =x^2 -6x +9</math> (QF08 Abbildung 3)?
 
{{Lösung versteckt
|1=Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.
|2=Tipp anzeigen
|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt
|1=1. <br />
<math>g(x) = t(x) </math> <br />
<math>\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -9 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  <math> -2x +9 </math> <br />
<math>\Leftrightarrow x^2 -6x +9 = 0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  2. binomische Formel anwenden <br />
<math>\Leftrightarrow (x-3)^2 = 0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}}  (doppelte) Nullstelle ablesen <br />
<math>\Rightarrow x_1 = x_2 = 3 </math> <br />
Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung <math>t(x)</math>, um die y-Koordinaten des Berührpunktes zu bestimmen (in <math>g(x)</math> zur Kontrolle): <br />
<math> t(3) = -2 \cdot 3 -9 = - 3 </math> <br />
<math> g(3) = 3^2 -4\cdot 3  = -3 </math> <br />
Berührpunkt von <math>g</math> und <math>t</math>:  <math>S(3|-3)</math> <br />
 
2. <br />Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>t</math> führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von <math>f(x) =x^2 -6x +9 = (x -3)^2 </math> zu lösen ist. Die ''Berührstelle'' von <math>g</math> und <math>t</math> ist also die (einzige) ''Nullstelle'' der Parabel <math>f</math>.  
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}} <!-- 2. Aufgabe -->
 
{{Box
|1=3. Aufgabe -Schnittpunktberechnung üben
|2=Gegeben sind eine quadratische Funktion <math>f</math> und eine lineare Funktion <math>g</math>. Berechne die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.
# <math>f(x) =x^2</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) = x +2</math>
# <math>f(x) = x^2 -3x +9</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) = 2x +3</math>
# <math>f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =0,5x -3</math>
# <math>f(x) =2x^2 +2x +1</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =-2x -1</math>
# <math>f(x) =-0,5x^2 +6x</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =0,5x +12</math>
 
{{Lösung versteckt
|1=
# <math>S_1(-1|1)</math>) ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(2|4)</math>
# <math>S_1(2| 7)</math>  ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(3|9)</math>
# <math>S_1(1|-2,5)</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(3|-1,5)</math>
# <math>S(-1|1)</math>
# <math>S_1(3|13,5)</math>  ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(8|16)</math>
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}} <!-- 3. Aufgabe -->
 
{{Box
|1=4. Aufgabe - Schnittpunkte zweier Parabeln
|2=Gegeben sind eine zwei quadratische Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>. Berechne die Schnittpunkte  beider Parabeln.
# <math>f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =-0,5x^2 -x +1,5</math>
# <math>f(x) =x^2 -5x +9</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =2x^2 -x -12</math>
# <math>f(x) =2x^2</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =-4x^2</math>


{{Lösung versteckt
{{Lösung versteckt
|1=
|1=
Man kann die Verschiebung in x- und y-Richtung in zwei Einzelschritte "Verschiebung in x-Richtung" und "Verschiebung in y-Richtung" aufspalten, die hintereinander ausgeführt werden, denn die entsprechenden Transformationsgleichungen gelten für ''alle'' Funktionen. Wenn man die Normalparabel also zuerst in x-Richtung verschoben hat, dann kann man auch auf die dadurch erzeugte Funktion die Transformationsgleichung für die Verschiebung in y-Richtung anwenden.
# <math>S_1(-1,5|1,875)</math>) ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(2|-2,5)</math>
# <math>S_1(-7|93)</math>  ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(3|3)</math>
# <math>S (0|0)</math>
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}} <!-- 4. Aufgabe -->
 
{{Box
|1=Definition Steigung einer Parabel
|2=Eine Gerade <math>g(x) =mx + n</math> besitzt in jedem Punkt den gleichen Steigungsfaktor <math>m</math>, ist also überall "gleich steil". Eine nach oben geöffnete Parabel dagegen wird immer steiler, je größer <math>x</math> wird. Die Steigung ändert sich bei ihr kontinuierlich von Punkt zu Punkt. Für einen gekrümmten Graphen - wie z.B. eine Parabel - definiert man die '''Steigung in einem bestimmten Punkt''' <math>T</math> als "Steigung der Tangente in diesem Punkt".
|3=Merksatz}}
 
Es stellt sich die Frage, wie man eine solche Steigung berechnen kann. Mithilfe der ''Differentialrechnung'' ist das für eine große Anzahl von Funktionen möglich. Für eine Parabel der Form <math>f(x) =a x^2</math> gelingt es aber auch ohne Differentialrechnung mit dem Wissen, das in diesem Lehrpfad bisher vermittelt wurde.
 
{{Box
|1=5. Aufgabe - Parabel und Tangentensteigung
|2=# Gegeben ist die Gerade <math>t(x) = mx + n</math>, die die gestreckte Normalparabel <math>f(x) =ax^2</math> mit <math>a \not= 0</math> im Punkt <math>T(x_T|y_T)</math> als Tangente berührt. Bestimme in der Funktionsgleichung von <math>t</math> den Steigungsfaktor <math>m</math> und den y-Achsenabschnitt <math>n</math> in Abhängigkeit von der x-Koordinate <math>x_T</math> des Berührpunktes <math>T</math>. 
# Bestimme mit dem Ergebnis aus 5.1 die Funktionsgleichung der Geraden <math>t_1</math>, die die Normalparabel im Punkt <math>T_1(1|1)</math> als Tangente berührt. <br />Zeige, dass man dieses Ergebnis auch erhält, wenn man die Parabel <math>g(x) = x^2 -4x</math> aus der 2. Aufgabe zu der Normalparabel <math>f(x) = x^2</math> verschiebt und diese Verschiebung auch auf die Tangente <math>t(x) =2x -9</math> und den Berührpunkt aus der 2. Aufgabe anwendet. Um welche Verschiebung handelt es sich?
 
{{Lösung versteckt
|1=Durch Gleichsetzen der Funktionsterme <math>f(x) =ax^2</math> und <math>t(x) = mx +n</math> entsteht eine quadratische Gleichung. Da sich die Graphen nur in einem einzigen Punkt berühren, hat diese Gleichung auch nur eine einzige Lösung. Was bedeutet das für die Diskriminante?
|2=Tipp anzeigen
|2=Tipp anzeigen
|3=Tipp verbergen}}
|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt
{{Lösung versteckt
|1=
|1=Lösung zu 1.
# Der Scheitelpunkt der Parabel <math>f</math> besitzt die Koordinaten <math>S(3|-4)</math>.
 
# Der Scheitelpunkt der Normalparabel <math>O(0|0)</math> wurde um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten zum Scheitelpunkt <math>S(3|-4)</math> von <math>f</math> verschoben. Entsprechend wurden auch alle anderen Punkte der Normalparabel und damit ihr gesamter Graph um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten verschoben.
Gegeben: <math>f(x) = a x^2</math>  &nbsp; und &nbsp;  <math>t(x) = m x +n</math> <br />
# Die Parabel besitzt die Funktionsgleichung <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math>
Ansatz: <math>f(x) = t(x)</math>
 
<math>a x^2 = m x +n</math> <br />
<math>\Leftrightarrow a x^2 - mx -n =0</math>  <br />
<math>\Leftrightarrow x^2 - \frac{m}{a} -\frac{n}{a} = 0</math>  <br />
<math>\Rightarrow x_T = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{a} +- \sqrt{0}</math>  &nbsp; (Diskriminante <math>D = 0 </math>) <br />
<math>\Rightarrow x_T = \frac{1}{2a} \cdot m</math>  <br />
<math>\Rightarrow \boldsymbol{m = 2 a x_T}</math>  <br />
 
<math>y_T = t(x_T) = f(x_T)</math> <br />
<math>\Rightarrow 2 a x_T + n = a x_T^2</math> <br />
<math>\Rightarrow \boldsymbol{n = -2 a x_T + a x_T^2} </math>  <br />
<math>\Rightarrow \boldsymbol{t(x) =2 a x_t \cdot x -2 a x_t + a x_T^2} </math>
 
Lösung zu 2.
 
Für <math>x_T = 1</math> und <math>a = 1</math> gilt: <br />
<math>m = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2</math><br />
<math>n = -2 \cdot 1 \cdot 1 +1 \cdot 1^2 = -1</math> <br />
<math>t_1(x) = 2x -1</math>
 
Oder mit Verschiebung:
<math>g(x) = x^2 -4x </math> aus der 2. Aufgabe in Scheitelform umwandeln:  <br />
<math>g(x) = x^2 -4x +4 - 4 </math> <br />
<math>= (x -2)^2 -4</math> <br />
Scheitelpunkt von <math>g</math> &nbsp; : &nbsp; <math>S_g(2|-4)</math>  
 
Verschiebung "zurück" zur Normalparabel: um 2 nach links und 4 nach oben: <br />
<math>f(x) = g(x-2) +4</math> <math>= (x+2)^2 -4(x+2) + 4</math> <math>= x^2 +4x +4 -4x -8 +4</math> <math>= x^2</math>  
 
Diese Verschiebung auf die Tangente <math>t(x) = 2x -9</math> und den Berührpunkt <math>T(3|-3)</math> aus der 2. Aufgabe anwenden:
 
<math>t_1(x) = t(x+2) +4</math> <math>= 2(x+2) -9 +4</math> <math>= 2x +4 -5</math> <math> = 2x -1 </math> <br />
<math>T_1 (3-2|-3+4) = T_1(1|1)</math>
 
|2=Lösung anzeigen
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}} <!-- 1. Aufgabe -->
|3=Üben}} <!-- 5. Aufgabe -->
 
 
{{Fortsetzung
|vorher=zurück
|vorherlink=Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF07 Quadratische Gleichungen
|weiter=weiter
|weiterlink=Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen
|übersicht=Kapitelübersicht
|übersichtlink=Benutzer:Ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]
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Aktuelle Version vom 20. Dezember 2025, 09:55 Uhr

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Lernschritt Parabeln und Geraden

1. Aufgabe -Schnittpunkte von Parabel und Gerade
QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel und Gerade
QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf
Parabel

In der Abbildung QF08 Abbildung 1 sind die Parabel (als durchgezogene Linie) und die Gerade (als gestrichelte Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen in den Punkten und schneiden.

  1. Bestimme die Schnittpunkte beider Graphen rechnerisch.
  2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel (QF05 Abbildung 1)?
Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.

   |
   | pq-Formel anwenden
und
Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung , um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in zur Kontrolle):




Schnittpunkte von und : und

2.
Die Berechnung der Schnittpunkte von und führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von zu lösen ist. Die Schnittstellen von und sind also die Nullstellen der Parabel .

2. Aufgabe -Schnittpunkt von Parabel und Tangente
QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf
Parabel und Gerade
QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf
Parabel

In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel (als durchgezogene Linie) und die Gerade (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt berühren, die Gerade also eine Tangente der Parabel ist.

  1. Bestätige rechnerisch, dass es sich bei der Geraden tatsächlich um eine Tangente an die Parabel handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten besitzt.
  2. Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel (QF08 Abbildung 3)?
Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen.

1.

   |
   | 2. binomische Formel anwenden
   | (doppelte) Nullstelle ablesen

Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung , um die y-Koordinaten des Berührpunktes zu bestimmen (in zur Kontrolle):


Berührpunkt von und :

2.
Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von und führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von zu lösen ist. Die Berührstelle von und ist also die (einzige) Nullstelle der Parabel .

3. Aufgabe -Schnittpunktberechnung üben

Gegeben sind eine quadratische Funktion und eine lineare Funktion . Berechne die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.

  1.  ;    
  2.  ;    
  3.  ;    
  4.  ;    
  5.  ;    
  1. ) ;    
  2.  ;    
  3.  ;    
  5.  ;    

4. Aufgabe - Schnittpunkte zweier Parabeln

Gegeben sind eine zwei quadratische Funktionen und . Berechne die Schnittpunkte beider Parabeln.

  1.  ;    
  2.  ;    
  3.  ;    
  1. ) ;    
  2.  ;    

Definition Steigung einer Parabel
Eine Gerade besitzt in jedem Punkt den gleichen Steigungsfaktor , ist also überall "gleich steil". Eine nach oben geöffnete Parabel dagegen wird immer steiler, je größer wird. Die Steigung ändert sich bei ihr kontinuierlich von Punkt zu Punkt. Für einen gekrümmten Graphen - wie z.B. eine Parabel - definiert man die Steigung in einem bestimmten Punkt als "Steigung der Tangente in diesem Punkt".

Es stellt sich die Frage, wie man eine solche Steigung berechnen kann. Mithilfe der Differentialrechnung ist das für eine große Anzahl von Funktionen möglich. Für eine Parabel der Form gelingt es aber auch ohne Differentialrechnung mit dem Wissen, das in diesem Lehrpfad bisher vermittelt wurde.

5. Aufgabe - Parabel und Tangentensteigung
  1. Gegeben ist die Gerade , die die gestreckte Normalparabel mit im Punkt als Tangente berührt. Bestimme in der Funktionsgleichung von den Steigungsfaktor und den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von der x-Koordinate des Berührpunktes .
  2. Bestimme mit dem Ergebnis aus 5.1 die Funktionsgleichung der Geraden , die die Normalparabel im Punkt als Tangente berührt.
    Zeige, dass man dieses Ergebnis auch erhält, wenn man die Parabel aus der 2. Aufgabe zu der Normalparabel verschiebt und diese Verschiebung auch auf die Tangente und den Berührpunkt aus der 2. Aufgabe anwendet. Um welche Verschiebung handelt es sich?
Durch Gleichsetzen der Funktionsterme und entsteht eine quadratische Gleichung. Da sich die Graphen nur in einem einzigen Punkt berühren, hat diese Gleichung auch nur eine einzige Lösung. Was bedeutet das für die Diskriminante?

Lösung zu 1.

Gegeben:   und  
Ansatz:




  (Diskriminante )





Lösung zu 2.

Für und gilt:


Oder mit Verschiebung:

aus der 2. Aufgabe in Scheitelform umwandeln:


Scheitelpunkt von   :  

Verschiebung "zurück" zur Normalparabel: um 2 nach links und 4 nach oben:

Diese Verschiebung auf die Tangente und den Berührpunkt aus der 2. Aufgabe anwenden:



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