Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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Beim Signifikanztest können zwei Fehlentscheidungen auftreten.<br>
In den Klausuraufgaben wird von euch manchmal gefordert, die Fehlerarten, die bei einem Signifikanztest auftreten können, zu beschreiben. In folgendem Abschnitt soll dies nochmals kurz wiederholt werden und euch praktische Hinweise gegeben werden, wie ihr diese für die Klausuraufgaben beschreiben könnt.<br><br>
Folgende Tabelle stellt beide Fehlerarten dar.<br><br>
[[Datei:Richtige und Falsche Entscheidungen.png|800px]]


Folgende Fehlerarten können beim Signifikanztest auftreten:<br><br>
{{Box|1=Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art|2=
{{Box|1=Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art|2=
Der '''Fehler 1. Art''' wird oft auch als <math>\alpha</math>-Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine richtige Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Dieser Fehler wird durch das festgelegte Signifikanzniveau <math>\alpha</math> kontrolliert. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kann also nie größer, als das festgelegte Signifkanzniveau <math>\alpha</math> sein. <br><br>
Der '''Fehler 1. Art''' wird oft auch als <math>\alpha</math>-Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers wird durch das festgelegte Signifikanzniveau <math>\alpha</math> kontrolliert. <br><br>
Der '''Fehler 2. Art''' wird oft auch als <math>\beta</math>-Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine falsche Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich dieser Fehler nicht kontrollieren.  
Der '''Fehler 2. Art''' wird oft auch als <math>\beta</math>-Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintreten dieses Fehlers nicht kontrollieren.  
|3=Merksatz}}
|3=Merksatz}}
<br>
'''Beispiel:'''
71% der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an.<br>
<math>H_0:p\leq0,71</math> und <math>H_1:p>0,71</math><br>
<div class="lueckentext-quiz">
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man ''' Bernoulli-Experiment'''. Wird solch ein Experiment n-mal wiederholt, und sind die Versuche unabhängig voneinander, erhält man eine '''Bernoulli-Kette''' der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X eine Zufallsvariable, welche die Anzahl k der Treffer angibt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für k Treffer durch die '''Formel von Bernoulli''' (<math>P(X=k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}</math>) berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X heißt '''Binomialverteilung''' mit den Parametern n und p. Neben der Binomialverteilung benötigt man auch häufig die zugehörige '''Verteilungsfunktion''', für deren Wahrscheinlichkeit die Schreibweise <math>P(X\leq k)</math> üblich ist. Die kumulierten Wahrscheinlichkeiten werden wie folgt berechnet: <math>P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k B_{n,p}(i)</math>


</div>|3=Arbeitsmethode
Anmerkung: Der Fehler 1. und 2. Art kann nur berechnet werden, wenn die tatsächliche Verteilung (also p) bekannt ist. Da dies eigentlich nie der Fall ist, ist die Diskussion etwas theoretisch.


Zur Veranschaulichung der beiden Fehlerarten betrachten wir wieder unser Beispiel: <br><br>
Die Umweltgruppe will zeigen, dass durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt:<br>
<math>H_0:p=0,71</math> und <math>H_1:p>0,71</math><br>
Der tatsächliche Wert, den die Gruppe natürlich nicht weiß, liegt im Jahr 2020 bei 76%. (Hinweis: Es ist ein fiktiver Wert)
Welche Fehler können der Gruppe beim Testen unterlaufen? <br><br>


<div class="lueckentext-quiz">
<u>Fehler 1. Art:</u> Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt '''weiterhin''' 71%, durch den Test wird aber fälschlicherweise angenommen, dass der Anteil '''gestiegen''' ist. <br>
<u>Fehler 2. Art: </u>Der tatsächliche Anteil liegt''' über''' 71% (in dem Fall bei 76%), der Test erkennt dies aber nicht. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese '''nicht'''.
</div>


Die Grafik veranschaulicht beide Fehlerarten.<br><br>
Der blaue Graph ist der Fall der Nullhypothese <math>H_0</math> und der rote Graph ist die Verteilung, mit der für die Gruppe unbekannten Wahrscheinlichkeit von 2020. Der Fehler 1. Art ist rot markiert und der Fehler 2. Art grün.<br><br>
[[Datei:Grafikfehlerarten.png|800px]]


[[Datei:Example.png|700px]]


{{Box|1=Übung 1: Fehlerarten bestimmen|2=
{{Box|1=Übung 1: Fehlerarten bestimmen|2=
Es gibt ein Malaria- Schnelltest. Die Nullhypothese <math>H_0</math> lautet, die gesteste Person hat kein Malaria (Test ist negativ). Die Gegenhypothese <math>H_1</math> lautet, die Person hat Malaria (Test ist positiv).<br><br>
Die Partei, die den Klimawandel nicht als Bedrohung sieht, hofft, dass ihre Argumente im letzten Jahr gegen die Bedrohung des Klimawandels bei der Bevölkerung angekommen sind. Die Partei interessiert sich, ob dadurch der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art besteht.  
<br><math>H_0:p=0,71</math> und <math>H_1:p<0,71</math><br><br>
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art im Kausalzusammenhang besteht.
{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
Beim Fehler 1. Art ist das Testergebnis positiv, dabei hat die Person kein Malaria.
Der Fehler 1. Art besteht darin, dass weiterhin 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber fälschlicherweise vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.  
}}
}}
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art besteht.  
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art im Kausalzusammenhang besteht.
  {{Lösung versteckt|1=
  {{Lösung versteckt|1=
Beim Fehler 2.Art fällt der Test negativ aus, dabei ist die Person an Malaria erkrankt.
Der Fehler 2. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test dies aber nicht erkennt. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.
}}
<br>
Im Gericht soll überprüft werden, ob ein Angeklagter schuldig ist. Im freiheitlichen Rechtsstaat gilt die Nullhypothese <math>H_0</math>: Der Angeklagte ist unschudlig. Die Gegenhypothese <math>H_1</math> lautet demnach, der Angeklagte ist schuldig. <br><br>
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art besteht.
{{Lösung versteckt|1=
Beim Fehler 1. Art wird ein Unschuldiger als schuldig angeklagt.  
}}
Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art besteht.
{{Lösung versteckt|1=
Beim Fehler 2.Art wird ein Schuldiger als unschuldig frei gesprochen.  
}}
}}


|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}
<br>
Nun schauen wir uns an, wie die Fehler berechnet werden.<br>
{{Box|1=Merke: Berechnung Fehler 1. Art und Fehler 2. Art|2=
Für die Berechnung des Fehlers 1. Art und Fehlers 2. Art, muss die tatsächliche geltende Verteilung angegeben sein. Mit dieser Verteilung berechnest du den Fehler 1. und Fehler 2. Art aus.<br>
Beim '''Fehler 1. Art''' berechnest du die kumulierte Wahrscheinlichkeit des Verwerfungsbereichs mit der Verteilung, die tatsächlich gilt. HINWEIS: Oft gilt eine andere Verteilung, als mit der du im Signifikanztest den Annahme- und Verwerfungsbereich ermittelt hast. Wenn tatsächlich der Grenzfall der Nullhypothese die tasächliche Verteilung ist, dann ist der Fehler 1. Art gleich dem festgelegten Signifikanzniveau. FORMEL <br>
Beim '''Fehler 2. Art''' berechnest du die kumulierte Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs mit der Verteilung, die tatächlichen gilt.HINWEIS: Es ist eine ander Verteilung, als mit der du im Signifikanztest den Annahme- und Verwerfungsbereich ermittelt hast.FORMEL:
|3=Merksatz}}




<br>


{{Fortsetzung|weiter=Klausurtraining - Signifikanztest|weiterlink=Klausurtraining_-_Signifikanztest}}
{{Fortsetzung|weiter=Klausurtraining - Signifikanztest|weiterlink=Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Klausurtraining_-_Signifikanztest}}

Aktuelle Version vom 9. März 2020, 13:33 Uhr

In den Klausuraufgaben wird von euch manchmal gefordert, die Fehlerarten, die bei einem Signifikanztest auftreten können, zu beschreiben. In folgendem Abschnitt soll dies nochmals kurz wiederholt werden und euch praktische Hinweise gegeben werden, wie ihr diese für die Klausuraufgaben beschreiben könnt.

Folgende Fehlerarten können beim Signifikanztest auftreten:

Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Der Fehler 1. Art wird oft auch als -Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers wird durch das festgelegte Signifikanzniveau kontrolliert.

Der Fehler 2. Art wird oft auch als -Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintreten dieses Fehlers nicht kontrollieren.

Anmerkung: Der Fehler 1. und 2. Art kann nur berechnet werden, wenn die tatsächliche Verteilung (also p) bekannt ist. Da dies eigentlich nie der Fall ist, ist die Diskussion etwas theoretisch.

Zur Veranschaulichung der beiden Fehlerarten betrachten wir wieder unser Beispiel:

Die Umweltgruppe will zeigen, dass durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt:
und
Der tatsächliche Wert, den die Gruppe natürlich nicht weiß, liegt im Jahr 2020 bei 76%. (Hinweis: Es ist ein fiktiver Wert) Welche Fehler können der Gruppe beim Testen unterlaufen?

Fehler 1. Art: Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt weiterhin 71%, durch den Test wird aber fälschlicherweise angenommen, dass der Anteil gestiegen ist.
Fehler 2. Art: Der tatsächliche Anteil liegt über 71% (in dem Fall bei 76%), der Test erkennt dies aber nicht. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.

Die Grafik veranschaulicht beide Fehlerarten.

Der blaue Graph ist der Fall der Nullhypothese und der rote Graph ist die Verteilung, mit der für die Gruppe unbekannten Wahrscheinlichkeit von 2020. Der Fehler 1. Art ist rot markiert und der Fehler 2. Art grün.

Grafikfehlerarten.png


Übung 1: Fehlerarten bestimmen

Die Partei, die den Klimawandel nicht als Bedrohung sieht, hofft, dass ihre Argumente im letzten Jahr gegen die Bedrohung des Klimawandels bei der Bevölkerung angekommen sind. Die Partei interessiert sich, ob dadurch der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
und

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 1. Art besteht darin, dass weiterhin 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber fälschlicherweise vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 2. Art besteht darin, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test dies aber nicht erkennt. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.



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