Beschreibende Statistik/Merkmal und Merkmalsausprägungen

Lernziele:

• Sie kennen die Definitionen der Begriffe
  • Urliste,
  • Beobachtungswert,
  • Merkmal,
  • Merkmalsausprägung und
  • Merkmalsträger.
• Sie können die mathematischen Bezeichnungen der obigen Begriffe
  • richtig zuordnen und
  • diese im Sachzusammenhang anwenden.

Sie können das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den   Übungen

Beispiel Umfrage vor der Bundestagswahl 2013

Alter	Partei
20	Grüne
18	CDU
37	SPD
...	...

Vor der Bundestagswahl 2013 wurden 1000 Wahlberechtigte befragt, welche Partei sie wählen möchten und wie alt sie sind. Die erhobenen Daten wurden in einer Urliste (Ausschnitt: siehe rechts) erfasst. Man bezeichnet "Alter" und "Partei" als Merkmal. Jedes Merkmal hat verschiedene Merkmalsausprägungen. Zum Beispiel hat das Merkmal "Alter" die Merkmalsausprägungen "20", "18" und "37". Das Merkmal "Partei" hat die Merkmalsausprägungen "Grüne", "CDU" und "SPD". Selbstverständlich gibt es noch jeweils weitere Merkmalausprägungen. Jeder der Befragten ist im Hinblick auf die Merkmale "Alter" und "Partei" ein Merkmalsträger.

Wie immer in der Mathematik kommt man auch hier nicht ohne mathematische Definitionen aus.

Merke

Jede in einer statistischen Erhebung untersuchte Frage heißt Merkmal.

Die einzelnen Antworten heißen Beobachtungswerte und werden getrennt nach Merkmalen in einer Urliste festgehalten. Die Beobachtungswerte werden mit $a_i$ bezeichnet.

Die Anzahl aller Beobachtungswerte $a_i$ ist gleich dem Stichprobenumfang $n$.

Zu einer Stichprobe vom Umfang $n$ gibt es in der zugehörigen Urliste die Beobachtungswerte $a_1; a_2;...;a_{n-1};a_n$.

Die verschiedenen Werte die ein Merkmal annimmt, werden Merkmalsausprägungen genannt und mit $x_i$ bezeichnet. Es kann höchstens so viele Merkmalsausprägungen geben, wie es Beobachtungswerte in der Urliste gibt. In der Regel wird die Anzahl $k$ der Merkmalsausprägungen kleiner sein als der Stichprobenumfang. Die zu einem Merkmal gehörenden Ausprägungen werden mit $x_1;x_2;...;x_{k-1};x_k$ bezeichnet.

Jedes Element der Stichprobe einer statistischen Erhebung ist ein Merkmalsträger bezogen auf die untersuchten Merkmale.

Einführungsbeispiel - Teil 3 Die erhobenen Daten werden in einer Urliste zusammengefasst. Jeder befragte Kunde ist im Hinblick auf die Merkmale „Alter“, „Geschlecht“, „Qualität der Eisdiele“, „Lieblingseis“ und „Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln“ ein Merkmalsträger. Die Anzahl $n$ der Merkmalsträger nennt man Stichprobenumfang (hier $n=30$). Die Merkmale selbst kommen in verschiedenen Ausprägungen vor:
Merkmal	Merkmalsausprägungen	Kommen alle Merkmalsausprägungen vor?
Alter	0; 1; 2;...;100	nein
Geschlecht	m, w	ja
Qualität der Eisdiele	sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend	ja
Lieblingseis	Himbeere, Vanille, Erdbeere, Pfefferminz, Schokolade, Zitrone, Mango, Jogurt, Nuss	ja
Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln	1, 2, 3, 4, 5	ja
Betrachtet man das Merkmal "Geschlecht" so lauten die Beobachtungswerte $a_1=w;a_2=w;a_3=w;a_4=w;a_5=m;$ $;...;a_{29}=w;a_{30}=w$ Es gibt $n=30$ Beobachtungswerte $a_i$, aber nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen $x_i$. Jetzt legt man (beliebig) fest: $x_1=m$ und $x_2=w$

Noch ein Beispiel

Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von $n=10$ und enthält folgende Beobachtungswerte: $18; 20; 17; 19; 16; 18; 17; 16; 20; 19$ Dann bezeichnet man die Beobachtungswerte so: $a_1=18; a_2=20; a_3=17; a_4=19; a_5=16; a_6=18; a_7=17; a_8=16; a_9=20; a_{10}=19$ Sortiert man die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" der Größe nach, so erhält man eine sortierte Urliste: $16; 16; 17; 17; 18; 18; 19; 19; 20; 20$ Aus dieser sortierten Urliste lassen sich leicht die einzelnen Merkmalsausprägungen ablesen. Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat $k=5$ Merkmalsausprägungen $16; 17; 18; 19; 20$ Man bezeichnet die Merkmalsausprägungen so: $x_1=16; x_2=17; x_3=18; x_4=19; x_5=20$ Diese mathematischen Schreibweisen werden im Folgenden noch häufiger verwendet und ist sehr nützlich, wenn es darum geht, etwas allgemein zu formulieren.

Aufgabe

Sie haben die Merke-Kästen in Ihr Regelheft übernommen?

Testen Sie Ihr Wissen.

Übungen

Aufgabe

Testen Sie Ihr Wissen und lösen Sie das Quiz. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten!

Handelt es sich um ein Merkmal? (Alter)(Geschlecht) (Gehalt) (Hobby) (Lieblingsfarbe)(!2500 EUR) (!Fußball) (!Vanille) (!18)(!Larissa) (!rot) (Beruf)

Handelt es sich um eine Merkmalsausprägung? (Katze) (!Haustier) (188 cm) (!Größe) (!Alter) (Biene) (Lehrerin) (!Schulform) (!Autofarbe) (grün) (15 EUR) (!Wunschtitel)

Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Wie groß ist der Stichprobenumfang n ? (!14) (!5) (15) (!6)

Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Wie groß ist Anzahl der Merkmalsausprägungen k? (!14) (!5) (6) (!15)

Zuordnung

Merkmal

Körpergröße

Schuhgröße

Alter

Lieblingsessen

Hobby

Höhe des Taschengeldes

Stundenlohn

Geschwisterzahl

Berufswunsch

Staatsangehörigkeit

Merkmalsausprägung

evangelisch

17 Jahre

Apfel

Realschule

hoch

klein

braun

39

ledig

deutsch

1800 EUR

konfessionslos

Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen

Lernpfad Beschreibende Statistik

1. Grundbegriffe
   • Grundgesamtheit, Stichprobe und Stichprobenumfang
   • Merkmal und Merkmalsausprägungen
   • Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen
   • Absolute und Relative Häufigkeiten
   • Klassenbildung
2. Graphische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen
   • Säulendiagramm
   • Balkendiagramm
   • Kreisdiagramm
   • Punktwolke
3. Lagemaße
   (arithmetisches Mittel, Modus, Median)
4. Streuungsmaße
   (mittlere absolute Abweichung, mittlere quadratische Abweichung, Standardabweichung)
5. Einsatz des Taschenrechners
   (Bedienung Casio fx-991DE PLUS)