Beschreibende Statistik/Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen

Lernziele:

• Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
  • quantitatives Merkmal
    • metrisch diskrete Skala und
    • metrisch stetige Skala,
  • qualitatives Merkmal
    • Ordinalskala und
    • Nominalskala.
• Sie können die Begriffe
  • quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala,
  • quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala,
  • qualitatives Merkmal mit Ordinalskala
  • qualitatives Merkmal mit Nominalskala

im Sachzusammenhang erkennen und zuordnen.

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Um die statistische Erhebung auswerten zu können, müssen Merkmale mit ihren Merkmalsausprägungen weiter unterschieden werden.Man unterscheidet zwischen

qualitativen und

quantitativen Merkmalen.

Quantitative Merkmale

Bei quantitativen Merkmalen lassen sich die Merkmalsausprägungen durch

Zahlen oder

Größenwerte

ausdrücken und in einer metrischen Skala anordnen. Mit quantitativen Merkmalen sollten einfache Rechenoperationen sinnvoll möglich sein.

Eine metrische Skala wird noch nach Art der vorkommenden Zahlen oder Größenwerte unterscheiden. Man nennt eine metrische Skala metrisch diskret, wenn nur ganze Zahlen (z. B. Personen) als Merkmalsausprägungen zugelassen sind. Können auch Dezimalzahlen als Merkmalsausprägung vorkommen, so nennt man die Skala metrisch stetig (alle Zahlen, z. B. Temperatur, Gewicht).

Qualitative Merkmale

Qualitative Merkmale sind entweder Texte oder Zahlwerte, mit denen man aber keine sinnvollen Rechnungen ausführen kann.

Sie werden noch einmal unterschieden in solche, bei denen die Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge (ordinale Skala) gebracht werden können, und in jene, bei denen die Merkmalsausprägungen nicht abgestuft werden können (nominale Skala).

Beispiele: Das Merkmal "Lieblingsfarbe" kann verschiedene Merkmalsausprägungen annehmen, z. B. rot, blau, gelb, grün, ... Es handelt sich um ein qualitatives Merkmal und die verschiedenen Farben lassen sich nicht in eine natürliche Reihenfolge bringen, also handelt es sich bei der zugehörigen Skala um eine Nominalskala. Das Merkmal "Interesse am Fach Deutsch" kann die Merkmalsausprägungen "hoch", "eher hoch", "eher gering" und "gering" annehmen. Auch hier handelt es sich um ein qualitatives Merkmal, aber diesmal mit Ordinalskala, da die einzelnen Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden können. Das Merkmal "Anzahl der Tische im Klassenraum" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala, da es keine halben Tische gibt. Das Merkmal "Körpergröße in m" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala, da auch Größen wie 1,88 m erfasst werden müssen. Besonders schwierig ist es die Ausprägungen des Merkmals "Note in Mathematik" genau einzuordnen. Man könnte meinen, es handele sich um ein quantitatives Merkmal, da ja jeder Lehrer z. B. die Durchschnittsnote, die in der letzten Klassenarbeit erzielt wurde, an die Tafel schreibt, also mit den Noten rechnet. Das hat sich so eingebürgert und funktioniert auch irgendwie, ist aber mathematisch eher fragwürdig. Denn gut und sehr gut ergibt nicht befriedigend, oder? Anders bei der Anzahl von Stühlen: hat man einen Stuhl und stellt noch zwei dazu, dann hat man insgesamt drei Stühle. Also handelt es sich bei dem Merkmal "Note in Mathematik" um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala, da die verschiedenen Merkmalsausprägungen einer natürlichen Ordnung genügen.

Merke

Man unterscheidet in

• quantitative Merkmale, deren Merkmalsausprägungen aus Zahlen oder Größenwerten bestehen
  • mit metrisch diskreter Skala (nur ganze Zahlen)
  • mit metrisch stetiger Skala (alle Kommazahlen)
• qualitative Merkmale, deren Merkmalausprägungen in Textform oder als Zahlwerte (ohne mögliche sinnvolle Rechenoperationen) gegeben sind
  • mit Ordinalskala (die Merkmalsausprägungen lassen sich in eine natürliche Reihenfolge bringen)
  • mit Nominalskala (die Merkmalsausprägungen haben keine Wertigkeit)

Einführungsbeispiel - Teil 4 Jetzt werden die Merkmale "Alter", "Geschlecht", "Lieblingseissorte" und "Durchschnittliche Anzahl an Eiskugeln" im Hinblick auf ihre Art und die zugehörige Skala untersucht:
Merkmal	Merkmalsausprägungen	Art des Merkmals	Skala
Alter	0; 1; 2;...;100	quantitativ	metrisch diskrete Skala
Geschlecht	m, w	qualitativ	Nominalskala
Qualität der Eisdiele	sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend	qualitativ	Ordinalskala
Lieblingseis	Himbeere, Vanille, Erdbeere, Pfefferminz, Schokolade, Zitrone, Mango, Jogurt, Nuss	qualitativ	Nominalskala
Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln	1, 2, 3, 4, 5	quantitativ	metrisch diskrete Skala
Betrachtet man das Merkmal "Geschlecht" so lauten die ersten Beobachtungswerte $a_1=w; a_2=w; a_3=w; a_4=w; a_5=m;$ ... Es gibt $n=30$ Beobachtungswerte $a_i$, aber nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen $x_i$. Jetzt legt man (beliebig) fest: $x_1=m$ und $x_2=w$

Aufgabe

Sie haben Ihr Regelheft mit dem dritten Merksatz gefüllt.

Übungen

Aufgabe

Testen Sie Ihr Wissen und lösen Sie das Quiz. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten!

Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala? (Noten in einer Klassenarbeit) (Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze)

Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Nominalskala? (Haustier) (Wunschtitel)(Geschlecht) (Hobby) (Lieblingsfarbe) (Beruf) (Konfession) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreten Skala? (Alter in Jahren) (Gehalt in vollen EUR) (Anzahl Sitzplätze) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (!Sehstärke in Dioptrien) (!Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (!Temperatur in Grad Celsius) (!Wasserpegel der Ruhr in Hattingen)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetigen Skala? (Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (Sehstärke in Dioptrien) (Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (Temperatur in Grad Celsius) (Wasserpegel der Ruhr in Hattingen) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt in vollen EUR) (!Anzahl Sitzplätze)

Ordnen Sie die Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.

Qualitative Merkmale	Haarfarbe	Schulform	Familienstand	Lieblingsessen	Hobby	Autofarbe	Augenfarbe	Konfession	Berufswunsch	Staatsangehörigkeit
Quantitative Merkmale	Alter	Größe	Schuhgröße	Bruttoeinkommen	Preis einer Ware	Kinderzahl	Geburtsjahr	Füllmenge

Absolute und Relative Häufigkeiten

Lernpfad Beschreibende Statistik

1. Grundbegriffe
   • Grundgesamtheit, Stichprobe und Stichprobenumfang
   • Merkmal und Merkmalsausprägungen
   • Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen
   • Absolute und Relative Häufigkeiten
   • Klassenbildung
2. Graphische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen
   • Säulendiagramm
   • Balkendiagramm
   • Kreisdiagramm
   • Punktwolke
3. Lagemaße
   (arithmetisches Mittel, Modus, Median)
4. Streuungsmaße
   (mittlere absolute Abweichung, mittlere quadratische Abweichung, Standardabweichung)
5. Einsatz des Taschenrechners
   (Bedienung Casio fx-991DE PLUS)